বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ সমাধান – কষে দেখি – 7.1 || Class – X Koshe Dekhi – 7.1
(Theorems related to Angles in a Circle)
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃ কষে দেখি – 7.1
(Theorems related to Angles in a Circle)
প্রয়োজনীয় উপপাদ্য এবং তথ্যসমূহ
✴️ পরিধিস্থ কোণ: কোনো বৃত্তের যেকোনো বৃত্তচাপ পরিধির উপর যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে বৃত্তস্থ কোণ বা পরিধিস্থ কোণ বলে।
▶️ কোন নির্দিষ্ট বৃত্তচাপ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ বা পরিধিস্থ কোণের সংখ্যা অসংখ্য।
▶️ কোন নির্দিষ্ট বৃত্তচাপ দ্বারা উৎপন্ন সকল পরিধিস্থ বা বৃত্তস্থ কোণের মান সমান হয়।
✴️ কেন্দ্রস্থ কোণ: কোনো বৃত্তের কোনো বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে যে সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে তাকে কেন্দ্রস্থ কোণ বলে।
নিচের চিত্রে BPC বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ হল ∠BOC এবং পরিধিস্থ কোণ হল ∠BAC;
নিচের চিত্রে BPC বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ হল ∠BOC এবং পরিধিস্থ কোণ হল ∠BAC;
▶️ একটি নির্দিষ্ট বৃত্তচাপ দ্বারা দুটি এবং কেবল মাত্র দুটি কেন্দ্রস্থ কোণ অঙ্কন করা সম্ভব যার একটা অবশ্যই প্রবৃদ্ধ কোণ হবে।
▶️ যেকোনো বৃত্তের সমস্ত পরীক্ষা পরিধি দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ 360° এবং অর্ধপরিধি দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণের মান হয় 180°।
✴️ বৃত্তস্থ কোণের সঙ্গে কেন্দ্রস্থ কোণের সম্পর্ক:✴️
একই বৃত্তচাপ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক হয়।
▶️ একই বৃত্তাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ বা পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ
হয়।
▶️ কোনো বৃত্তের একই বৃত্তাংশস্থ কোণগুলির মান সমান।
▶️ একই বৃত্তচাপের উপর বৃত্তস্থ বা পরিধিস্থ কোণ x° হলে, কেন্দ্রস্থ কোন হবে
2x°
▶️ বৃত্তের একই চাপের উপর অবস্থিত কোণ কেন্দ্রস্থ কোণ x° হলে,পরিধিস্থ
কোন হবে x/2°;
▶️ একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত দুটি পরিধিস্থ কোন x° ও y° হলে,
x° = y° হবে
1. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র O এবং BC বাহুর যেদিকে A বিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পার্শ্বে কেন্দ্র O অবস্থিত। ∠BOC = 100° হলে ∠ABC ও ∠ABO-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
△BOC থেকে পাই,
OB=OC – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∴ ∠OBC = ∠OCB
প্রদত্ত ∠BOC = 100°
∴ ∠OBC + ∠OCB = 180° – 100°
= 80°
∴ ∠OBC = ∠OCB
= 80°/2
= 40°
আবার,
প্রবৃদ্ধ ∠BOC = 360° – ∠BOC
= 360° – 100°
= 260°
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BPC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC
∴ প্রবৃদ্ধ ∠BOC = 2∠BAC
বা, 2∠BAC = 260°
বা, ∠BAC = 260°/2
= 130°
আবার △ABC থেকে পাই,
AB = BC
∴ ∠ABC = ∠ACB
∵ ∠BAC = 130°
∴ ∠ABC = ∠ACB
= (180°−130°)/2
= 50°/2
=25°
∴ ∠ABO = ∠ABC + ∠OBC
= 25° + 40° = 65°
Ans: ∠ABC এর মান 25° এবং
∠ABO এর মান 65°।
Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|
2. পাশের চিত্রে ΔABC-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র O এবং ∠AOC = 110°: ∠ABC-এর মান হিসাব করে লিখি ।
সমাধান:
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের APC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠AOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC।
∴ প্রবৃদ্ধ ∠AOC = 2∠ABC
আবার, ∠AOC = 360° – প্রবৃদ্ধ∠AOC
= 360° – 110°
= 250°
∴ ∠ABC = ½ × ∠AOC
= ½ × 250°
= 125°
Ans: ∠ABC –এর মান 125°।
3. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DC বাহুকে P বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠BCP = 108° হলে, ∠BOD-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
∠এখানে, ∠BCP = 108°
∴ ∠BCD = 180° – 108°
= 72°
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের DAB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOD এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD।
∴ ∠BOD = 2×∠BCD
বা, ∠BOD = 2 × 72°
= 144°
Ans: ∠BOD –এর মান 144°।
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
(Theorems related to Angles in a Circle)
4. পাশের চিত্রে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠AOD = 40° এবং ∠ACB = 35° ; ∠BCO ও ∠BOD-এর মান হিসাব করে লিখি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই।
সমাধান:
প্রদত্ত ∠AOD = 40° এবং ∠ACB = 35°
একই বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠DOA এবং পরিধিস্থ কোণ ∠DCA
∴ ∠DOA = 2 × ∠DCA
বা, ∠DCA = ½ × ∠DOA
= ½ X 40°
⇒ 20°
∴ ∠BCO = ∠DCA+ ∠ACB
⇒ 20° + 35°
= 55°
আবার, AB বৃত্তচাপের ওপর ∠AOB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং ∠ACB পরিধিস্থ কোণ
∴ ∠AOB = 2 × ∠ACB
= 2 × 35°
= 70°
∠BOD = ∠AOB + ∠AOD
= 70° + 40°
= 110
Ans: ∠BCO = 55° এবং
∠BOD = 110°
5. পাশের চিত্রের O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠APB = 80° হলে, ∠AOB ও ∠COD-এর মানের সমষ্টি নির্ণয় করি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই।
সমাধান:
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB
∴ ∠AOB = 2∠ACB
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের CD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠COD ও বৃত্তস্থ কোণ ∠DBC
∴ ∠COD = 2∠DBC
∴ ∠AOB + ∠COD
= 2∠ACB + 2∠DBC
= 2(∠ACB + ∠DBC)
⇒ 2(∠PCB + ∠PBC) – – – (1
△PBC এর বহিঃস্থ কোণ ∠APB
∴ ∠PCB + ∠PBC = ∠APB
বা, ∠PCB + ∠PBC = 80° – – – [∵ ∠APB = 80°]
(1) নং থেকে পাই,
∠AOB + ∠COD = 2 × 80°
= 160°
Ans: ∠AOB ও ∠COD-এর মানের সমষ্টি 160°
২০০ টি গুরুত্বপূর্ণ আবিষ্কার ও আবিষ্কারক CLICK HERE
6. পাশের ছবির মতো C ও D কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা C কেন্দ্রীয় বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং D কেন্দ্রীয় বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে,
(i) ∠PBQ = ∠CAD
(ii) ∠BPC = ∠BQD
সমাধানঃ
স্বীকারঃ C ও D কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয় A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী সরলরেখা C ও D কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয়কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ
(i) ∠PBQ = ∠CAD
(ii) ∠BPC = ∠BQD
অঙ্কনঃ C, B ও B, D যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ C কেন্দ্রীয় বৃত্তের PA বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠PCA ও বৃত্তস্থ কোণ ∠PBA।
∴ ∠PCA = 2∠PBA – – – (1)- – [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন]
আবার, D কেন্দ্রীয় বৃত্তের AQ বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ADQ ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABQ
∴ ∠ADQ = 2∠ABQ – – – (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
∠PCA + ∠ADQ
= 2∠PBA + 2∠ABQ
= 2(∠PBA + ∠AQB)
⇒ ∠PCA + ∠ADQ
= 2∠PBQ – – – (3)
△APC –এর ক্ষেত্রে,
∠APC = ∠PAC – – – [∵ CP = CA]
∵ ∠PCA + ∠APC + ∠PAC = 180°
বা, ∠PCA + 2∠PAC = 180°
বা, ∠PCA = 180° – 2∠PAC – – – (3)
অনুরূপে, △ADQ –এর ক্ষেত্রে,
∠ADQ = 180° – 2∠DAQ – – – (4)
(3) + (4) করে পাই,
∠PCA + ∠ADQ = 180° – 2∠PAC + 180 – 2∠DAQ
বা, 2∠PBQ = 360° – 2(∠PAC + ∠DAQ) – – – [(3) থেকে পাই]
বা, 2∠PBQ = {2(180° – (∠PAC + ∠DAQ)}
⇒, ∠PBQ = (180° – (∠PAC + ∠DAQ)
বা, ∠PBQ = ∠CAD [Proved]
আবার, △ACB –এর
CA = CB – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠CAB = ∠CBA
অনুরূপে, △ADB –এর ক্ষেত্রে,
∠DAB = ∠DBA
∴ ∠CAB + ∠DAB = ∠CBA + ∠DBA
বা, ∠CAD = ∠ABD
কিন্তু, ∠CAD = ∠PBQ – – [পূর্বে প্রমাণিত]
∴ ∠CAD = ∠PBQ
আবার, ∠PBD – ∠CAD = ∠PBD – ∠PBQ
বা, ∠PBC = ∠DBQ
∴ ∠BPC = ∠BQD [Proved]
7.ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O; প্রমাণ করি যে, ∠OBC + ∠BAC = 90o
সমাধানঃ
স্বীকারঃ ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠OBC + ∠BAC = 90°
অঙ্কনঃ O, B ও O, C যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC।
∴ ∠BOC = 2∠BAC – – [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন]
△BOC থেকে পাই,
BO = OC – – – [∵একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OBC = ∠OCB
আবার, ∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°
বা, 2∠BAC + 2∠OBC = 180°
∴ ∠OBC + ∠BAC = 90° [Proved]
8. দুটি সমান বৃত্ত একটি অপরটির কেন্দ্রগামী এবং বৃত্তদুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ΔBCD সমবাহু ত্রিভুজ।
সমাধানঃ
স্বীকারঃ P ও Q কেন্দ্রীয় দুটি সমান বৃত্ত একটি অপরটির কেন্দ্রগামী। বৃত্তদুটি A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং A বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্তদ্বয়কে যথাক্রমে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ BCD সমবাহু ত্রিভুজ।
অঙ্কনঃ A,P ; P,B ; B,Q ; A,Q এবং P, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ △APQ এর
AP = PQ = AQ – – [ ∵ বৃত্ত দুটি সমান সুতরাং তাদের ব্যাসার্ধও সমান ]
∴ △APQসমবাহু ত্রিভুজ
∴ ∠APQ = ∠AQP = 60°
অনুরূপে, △BPQ সমবাহু ত্রিভুজ ।
∴∠BPQ = ∠BQP = 60°
∴ ∠APB = ∠APQ + ∠BPQ
= 60° +60°
= 120°
অনুরূপে, ∠AQB = 120°
AQB বৃত্তচাপের ওপর ∠APB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং ∠ACB পরিধিস্থ কোণ
∴ ∠ACB = ½ × ∠APB
= ½ × 120°
= 60°
আবার APB বৃত্তচাপের ওপর ∠AQB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং ∠ADB পরিধিস্থ কোণ
∴ ∠ADB = ½ × ∠AQB
= ½ × 120°
= 60°
∴ ∠DCB =180° – ∠ACB – ∠ADB
= 180° – 60° – 60°
= 60°
△BCD একটি সমবাহু ত্রিভুজ। [Proved]
দশম শ্রেণির বয়েলের সুত্র (Boyels Law) এর উপর Video Tutorial দেখতে এখানে CLICK করো।
9. ΔABC-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র S এবং AD ⊥ BC হলে, প্রমাণ করি যে ∠BAD = ∠SAC।
সমাধানঃ
স্বীকারঃ ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র S এবং AD⊥BC
প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠BAD = ∠SAC
অঙ্কনঃ S,A ; S,C যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ △SAC এর,
SA = SC – – – [∵ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∴ ∠SAC = ∠SCA
S কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ASC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC
∴ ∠ASC = 2∠ABC
আবার ∠ASC + ∠SAC + ∠SCA = 180°
বা, ∠ASC + 2∠SAC = 180°
বা, 2∠SAC = 180° – ∠ASC
⇒ ∠SAC = 90° – ½ ∠ASC
বা, ∠SAC = 90° – ½ ×2∠ABC – – – [∵ ∠ASC = 2∠ABC]
বা, ∠SAC = 90° – ∠ABC – – – (1)
ABD সমকোণী ত্রিভুজের,
∠BAD = 90° – ∠ABD
= 90° – ∠ABC – – – (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
∠SAC = ∠BAD [Proved]
10. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, ∠AOD + ∠BOC = 2∠BPC
যদি ∠AOD ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব।
সমাধানঃ
স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ
O, D; O, B যুক্ত করা হল।
∠AOD + ∠BOC = 2∠BPC
অঙ্কনঃ B, D যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOD ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABD,
∴ ∠AOD = 2∠ABD – – – (1)
আবার O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BDC
∴ ∠BOC = 2∠BDC – – – (2)
△BDP –এর,
বহিঃস্থ কোণ ∠BPC = ∠PBD + ∠BDP – – [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
(1) + (2) করে পাই,
∴ ∠AOD + ∠BOC
= 2∠ABD + 2∠BDC
⇒ 2(∠ABD + ∠BDC)
= 2(∠PBD + ∠BDP)
= 2∠BPC
∴ ∠AOD + ∠BOC = 2∠BPC [Proved]
যদি ∠AOD ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক হয়,
তবে ∠AOD + ∠BOC = 180° হয়
∴ 2∠BPC = 180°
বা, ∠BPC = 90°
∴ জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব। [Proved]
11. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা-কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC
সমাধানঃ
স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটিকে বর্ধিত করলে P বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC
অঙ্কনঃ A,O ; O,C ; B,O ; B,C ; O,D যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC
∴ ∠ABC = ½∠AOC – – – (1) [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক ]
△BPC –এর,
বহিঃস্থ কোণ ∠ABC = ∠BPC + ∠BCP – – – (2)- – [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
½∠AOC = ∠BPC + ∠BCP
∴ ∠AOC = 2∠BPC + 2∠BCP – – – (3)
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOD এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD
∴∠BOD = 2∠BCD
∴ ∠BOD = 2∠BCP – – – (4)
(3) নং-এ 2∠BCP = ∠BOD বসিয়ে পাই,
∠AOC = 2∠BPC + ∠BOD
বা, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC [Proved]
12. ABCD চতুর্ভুজের A বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হলো যেটি B, C ও D বিন্দু দিয়ে যায়।প্রমাণ করি যে, ∠CBD + ∠CDB = 1/2 ∠BAD
সমাধানঃ
স্বীকারঃ A কেন্দ্রীয় বৃত্ত ABCD চতুর্ভুজের B, C, D বিন্দুগামী বৃত্ত ।
B, D যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ
∠CBD + ∠CDB = 1/2 ∠BAD
অঙ্কনঃ বৃত্তের পরিধির উপর একটি বিন্দু নেওয়া হল। B,P এবং D, P যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ △BCD থেকে পাই,
∠CBD + ∠CDB + ∠BCD = 180°
বা, ∠BCD = 180° – (∠CBD + ∠CDB) – – – (1)
আবার ∠BCD + ∠BPD = 180° – – – [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় সম্পূরক হয়।]
বা, ∠BCD = 180° – ∠BPD – – – (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
180° – (∠CBD + ∠CDB) = 180° – ∠BPD
বা, ∠CBD + ∠CDB = ∠BPD – – – (3)
BCD বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত ∠BPD পরিধিস্থ কোণ এবং ∠BAD কেন্দ্রস্থ কোণ।
∴ ∠BPD = 1/2∠BAD – – – (4) [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক ]
(3) নং ও (4) নং থেকে পাই,
বা, ∠CBD + ∠CDB = 1/2∠BAD [Proved]
13. ΔABC-এর পরিকেন্দ্র O এবং OD, BC বাহুর উপর লম্ব। প্রমাণ করি যে ∠BOD = ∠BAC
সমাধানঃ
স্বীকারঃ △ABC –এর পরিকেন্দ্র O এবং OD, BC বাহুর উপর লম্ব।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠BOD = ∠BAC
অঙ্কনঃ O,B ; O,C যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BPC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC
∴ ∠BOC = 2∠BAC – – – (1)
△BOD ও △COD থেকে পাই,
BO = CO – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OD সাধারণ বাহু।
∠ODB = ∠ODC – – – [∵ OD⊥BC]
∴ △BOD ≅ △COD
অর্থাৎ ∠BOD = ∠COD – – – [অনুরূপ কোণ]
∴ ∠BOC = ∠BOD + ∠COD
বা, ∠BOC = 2∠BOD – – – (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
2∠BOD = 2∠BAC
বা, ∠BOD = ∠BAC [Proved]
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
(Theorems related to Angles in a Circle)
14. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :
H
(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং PQ ব্যাস হলে, x এর মান (a) 140 (b) 40 (c) 80 (d) 20
Ans: (d) 20
[O কেন্দ্রীয় বৃত্তের
কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ROQ
= 180° – 140°
= 40°
∴ বৃত্তস্থ কোণ ∠RSQ
= ½ ∠ROQ
⇒ ½ × 40°
= 20°
∴ x = 20]
(ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে, x এর মান (a) 70 (b) 60 (c) 40 (d) 200
Ans: (a) 70
[∠QOR = 360° – (140° + 80°)
= 360° – 220°
= 140°
∴ ∠QPR = 1/2 ∠QOR
= 1/2 × 140°
= 70°
∴ x = 70]
(iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং BC ব্যাস হলে, x এর মান (a) 60 (b) 50 (c) 100 (d) 80
Ans: (b) 50
[Δ AOB এর OB = OA – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OAB = ∠OBA
= 50°
∴ ∠AOC = ∠OAB + ∠OBA
= 50° + 50° – – – [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
= 100°
কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC = 100°
∴ বৃত্তস্থ কোণ ∠ADC
= 1/2 ∠AOC
⇒ 1/2 × 100°
= 50°]
(iv) ABC ত্রিভুজের O পরিকেন্দ্র। ∠OAB = 50° হলে, ∠ACB-এর মান (a) 50° (b) 100° (c) 40° (d) 80°
Ans: (c) 40°
[ΔOAB এর AO = OB – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OAB = ∠OBA = 50°
∴ ∠AOB = 180° – (50° + 50°)
= 180° – 100°
= 80°
এখানে, কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB = 80°
∴ বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB
= 1/2 ∠AOB
⇒ 1/2 × 80°
= 40°]
(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে, ∠POR-এর মান (a) 20° (b) 40° (c) 60° (d) 80°
Ans: (c) 60°
[△POQ –এর
OP = OQ – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OPQ = ∠OQP = 10°
∴ ∠POQ = 180° – (10° + 10°)
= 180° – 20°
= 160°
আবার, △ROQ –এর,
OR = OQ – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠ORQ = ∠OQR = 40°
∴ ∠ROQ = 180° – (40° + 40°)
= 180° – 80°
= 100°
∴ ∠POR = ∠POQ – ∠ROQ
= 160° – 100°
= 60°]
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
সত্য বা মিথ্যা / শূন্যস্থান পূরণ
(B) সত্য বা মিথ্যা লিখি :
(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে,
∠AOB=2∠ACD
Ans: মিথ্যা,
[কারণ AB এবং AD দুটি বৃত্তচাপ অভিন্ন নয়।]
(ii) ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ভিতর O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OA = OB এবং ∠AOB=2∠ACB. O বিন্দুকে কেন্দ্র করে OA দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করলে C বিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থিত হবে।
Ans: সত্য।
[∠AOB = 2∠ACB
চিত্রানুযায়ী,
∠AOB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং ∠ACB পরিধিস্থ কোণ।
আবার কোণদ্বয় একই বৃত্তচাপ AB-এর ওপর অবস্থিত ।
সুতরাং C বিন্দু বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত।
C বিন্দু বৃত্তের ওপর অবস্থিত হবে ।]
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) একই চাপের দ্বারা গঠিত সন্মুখ বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের __________ ।
Ans: অর্ধেক
(ii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও AC জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। ∠APB ও ∠AQC বৃত্তস্থ কোণ হলে, কোণ দুটির মান __________ ।
Ans: সমান
(iii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র 0 হলে, যে-কোনো একটি বাহু দ্বারা উৎপন্ন সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণের মান __________ ।
Ans: 120°
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
(Theorems related to Angles in a Circle)
13.সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠OAB = 40o, ∠ABC = 120o, ∠BCO=yo এবং ∠COA = xo হলে,
x ও y-এর মান নির্ণয় করি
সমাধানঃ APC বৃত্তচাপের ওপর.
কেন্দ্ৰস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠AOC এবং পরিধিস্থ কোণ ∠ABC
∴ ∠ABC = ½ প্ৰবিদ্ধ ∠AOC – – – [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক ]
∴ 120° = ½(360° – x)
বা, 240° = 360° – x
বা, x = 360° – 240°
∴ x = 120°
∴ y = 360° – (40°+120° +120°)- – – [∵ চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি 360°]
= 360° – 280°
= 80°
Ans: x-এর মান 120° ও
y-এর মান y 80°
(ii) ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O এবং D বিন্দু BC বাহুর মধ্যবিন্দু। ∠BAC = 40o হলে, ∠BOD-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান: O,B ;O,D ; O,C যুক্ত করা হল ।
BC বৃত্তচাপের ওপর পরিধিস্থ কোণ ∠BAC এবং কেন্দ্ৰস্থ কোণ ∠BOC
∴ ∠BOC = 2∠BAC
=2 × 40° = 80°
ΔBOD ও ΔCOD এর ক্ষেত্রে,
BD=DC – – – [∵ D,BC এর মধ্যবিন্দু ]
OB = OC – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
OD সাধারণ বাহু
∴ বাহু-বাহু-বাহু শর্তানুসারে,
ΔBOD ≅ ΔCOD
∴ ∠BOD = ∠COD
আবার ∠BOC = 80°
∴∠BOD = ∠COD
=40°
Ans: ∠BOD-এর মান 40°
(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর A, B, C তিনটি বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে AOCB একটি সামান্তরিক।
∠AOC-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
∠AOC = ∠ABC – – – [সামান্তরিকের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান হয়।]
= 180°
ABC বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC এবং পরিধিস্থ কোণ ∠ABC
∴ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC = 2 ×∠ABC – – – [∵ কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন হয়]
আবার,
প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC + ∠AOC = 360°
বা, 2 ×∠ABC + ∠AOC = 360°
বা, 2 ×∠AOC + ∠AOC = 360°
⇒ 3∠AOC = 360°
বা, ∠AOC = 120°
Ans: ∠AOC-এর মান 120°
(iv) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র 0 এবং ∠ABC = 120° ;
বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি.হলে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
O,A ; O,B ; O,C যুক্ত করা হল।
Δ AOB ও ΔCOB এর মধ্যে
OA = OC – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
AB = BC – – – [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বাহু]
OB সাধারন বাহু
∴ Δ AOB ≅ ΔCOB
∠OBA = ∠OAB – – – [অনুরূপ কোণ]
∴ ∠OBA = ½ ∠ABC – – – {∠ABC = 120°]
= ½ × 120°
= 60°
∠OAB =∠OBA – – – [∵OA = OB]
= 60°
∴ ∠AOB = 180° – 60° -60°
= 60°
∴ Δ AOB একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
∴ AB = OA = 5 সেমি
Ans: AB বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি
(v) A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয় C এবং D বিন্দুতে ছেদ করে। A কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর অপর বৃত্তের কেন্দ্র B অবস্থিত।
∠CQD = 70° হলে, ∠CPD-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
BC ও BD যুক্ত করা হল।
প্রদত্ত ∠CQD = 70°
B কেন্দ্রীয় বৃত্তের CD বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠CBD এবং পরিধিস্থ কোণ ∠CQD
∴ ∠CBD = 2 ×∠CQD – – – [∵ কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন হয়]
= 2 × 70°
= 140°
আবার,
∠CPD + ∠CBD = 180° – – – [∵ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় সম্পূরক হয়]
বা, ∠CPD + 140° = 180°
বা, ∠CPD = 40°
Ans: ∠CPD-এর মান 40°
Madhyamik Question
MP-2017
▶️ (ii) △ABC-এর পরিকেন্দ্র O এবং OD ⊥ BC; প্রমাণ করো যে, ∠BOD = ∠BAC
- Madhyamik -26 Mathematics Solution
- Madhyamik -25 Mathematics Solution
- কষে দেখি 26.4 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান সংখ্যাগুরুমান
- কষে দেখি 26.3 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান: ওজাইভ
- কষে দেখি 26.2 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান মধ্যমা
- Koshe Dekhi 24 Class 10|পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
- কষে দেখি 25 দশম শ্রেণী | ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ: উচ্চতা ও দূরত্ব
- Solution of Koshe dekhi 22
- Solution of Koshe dekhi 21
- KOSHE DEKHI 17 সম্পাদ্য বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন
- ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন কষে দেখি 11.2
- Koshe Dekhi 18-4 Class 10 সদৃশতা
- Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা
- Koshe Dekhi 18.2 Class X Similarity সদৃশতা
- Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- ২৩.৩
- ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X
- Complete Solution of MP-24 Mathematics
- Complete Solution of MP-20 Mathematics
- Complete Solution of MP-19 Mathematics
- Complete Solution of MP-18 Mathematics
Comments
Leave a Reply