দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.3 Complete Solution of Quadratic Equation

1.দুটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117; সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, একটি সংখ্যা x ;
∴ অপর সংখ্যাটি x + 3
প্রশ্নানুযায়ী,
x² + (x +3)² = 117
⇒ x² + x² + 6x + 9 – 117 = 0
⇒ 2x² + 6x – 108 = 0
2(x² + 3x – 54) = 0
⇒ x² + 3x – 54 = 0
⇒ x² + 9x -6x – 54 = 0
x(x + 9) – 6(x + 9) = 0
⇒ (x + 9)(x – 6) = 0
হয় (x + 9) = 0  নতুবা (x – 6) = 0
বা, x = – 9  বা, x = 6
∵ সংখ্যাটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যা 
x ≠ – 9  
∴ x = 6 এবং (x + 3) = 6 +3 = 9
Ans: অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যা দুটি 6 এবং 9

2. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 18 মিটার বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 360 বর্গমিটার হলে, তার উচ্চতা নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
ধরি, ত্রিভুজটির উচ্চতা h মিটার।
ত্রিভুজটির ভূমি = (h×2 + 18) মিটার।
∴ ½ × (h×2 + 18) × h = 360 ……. [∵ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা]
⇒  ½ × 2 (h + 9)h = 360
⇒  h² + 9h = 360
  h² + 9h – 360 = 0
⇒  h² + 24h – 15h – 360 = 0
⇒  h(h + 24) – 15(h – 24) = 0
  (h + 24) (h – 15) = 0
হয় (h + 24) = 0  নতুবা  (h – 15) = 0  
বা,   h = – 24 বা, h = 15
কিন্তু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না।
h ≠ – 24 
∴ h = 15 
Ans:  ত্রিভুজের উচ্চতা = 15 মিটার।

3. যদি একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হয় তবে সংখ্যাটি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ
ধরি, অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি হল x
প্রশ্নানুযায়ী,
2x² – 5x = 3
⇒ 2x² – 5x – 3 = 0
⇒ 2x² – 6x + x – 3 = 0
2x(x – 3) + 1(x – 3) = 0
⇒ (x – 3)(2x + 1) = 0
হয় (x – 3) = 0  নতুবা (2x + 1) = 0
বা, x = 3  বা, x = – 1/2
∵ সংখ্যাটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যা 
x ≠ – ½  
∴ x = 3
Ans: অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি 3

4. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি। এক স্থান হতে অপর স্থানে মোটর গাড়িতে যেতে যে সময় লাগে জিপ গাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগে। মোটরগাড়ি অপেক্ষা জিপ গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি. বেশি হলে মোটর গাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, মোটরগাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় x কিমি.
∴ জিপ গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় (x+5) কিমি.
200 কিমি যেতে মোটরগাড়ির সময় লাগে = 200/x ঘন্টা…….[∵ সময় = অতিক্রান্ত দূরত্ব ÷ গতিবেগ] এবং
জিপ গাড়ির সময় লাগে = 200/(x+5) ঘন্টা
প্রশ্নানুযায়ী,

x² + 5x = 500
⇒ x² + 5x – 500 = 0
⇒ x² + 25x – 20x – 500 = 0
x(x + 25) -20(x – 25) = 0
⇒(x + 25)(x – 20) = 0
হয় (x + 25) = 0 নতুবা (x – 20) = 0
বা, x = – 25 বা, x= 20
গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না।
x ≠ – 25
∴ x = 20
Ans: মোটরগাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 20 কিমি.

5. অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার। অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।

ধরি, আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য x মিটার।
∴ প্রস্থ = 2000/x মিটার।….. [ ∵ দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল; ∴ প্রস্থ = ক্ষেত্রফল/দৈর্ঘ্য] প্রশ্নানুযায়ী,
2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 180
⇒ 2( x + 2000/x) = 180
⇒ x + 2000/x = 90
(x² + 2000)x = 90
⇒ x² + 2000 = 90x
⇒ x² – 90x + 2000 = 0
x² – 50x – 40x + 2000 = 0
⇒ x(x – 50) – 40(x – 50) = 0
⇒ (x – 50)(x – 40) = 0
হয় (x – 50) = 0 নতুবা (x – 40) = 0
বা, x= 50 বা, x= 40
x = 50 হলে 2000/x = 2000/50 = 40
বা, x = 40 হলে 2000/x = 2000/40 = 50
Ans: আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য = 50 মিটার ও
প্রস্থ = 40 মিটার।

6. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম । সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্ক দুটির গুনফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয় । সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ
ধরি, এককের ঘরের অঙ্ক x
∴ দশকের ঘরের অঙ্ক (x – 3)
সংখ্যাটি = 10×(x – 3) + 1×x
= 10x – 30 + x
= 11x – 30
অঙ্ক দুটির গুনফল = x(x – 3)
= x² – 3x
প্রশ্নানুযায়ী,
(11x – 30) – (x² – 3x) = 15
⇒ 11x – 30 – x² + 3x = 15
⇒ 11x – 30 -x² +3x – 15 = 0
14x – 45 – x² = 0
⇒ – (x² – 14x + 45) = 0
⇒ x² – 9x – 5x + 45 = 0
x(x – 9) – 5(x – 9) = 0
⇒(x – 9)(x – 5) = 0
হয় x – 9 = 0 অথবা x – 5 = 0
বা, x = 9 বা, x=5
Ans: সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক 5 অথবা 9

7. আমাদের স্কুলে চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি 11 ¹/₉ মিনিটে পূর্ণ হয়। যদি নলদুটি আলাদা ভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নল অপর নলটি থেকে 5 মিনিট বেশি সময় নেয়। প্রত্যেকটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটিকে কত সময়ে পূর্ণ করবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, প্রথম নল দিয়ে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় x মিনিটে।
∴ দ্বিতীয় নল দিয়ে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় (x+5) মিনিটে।
∴ প্রথম নল দিয়ে x মিনিটে পূর্ণ হয় 1 অংশ,
প্রথম নল দিয়ে 1 মিনিটে পূর্ণ হয় 1/x অংশ।
দ্বিতীয় নল দিয়ে x+5 মিনিটে পূর্ণ হয় 1 অংশ,
দ্বিতীয় নল দিয়ে 1 মিনিটে পূর্ণ হয় 1/x+5 অংশ।
11 ¹/₉ মিনিট = ^1e00/₉ মিনিট
নল দুটি দিয়ে একত্রে ¹⁰⁰/₉ মিনিটে পূর্ণ হয়

9(x² + 5x) = 100(2x + 5)
⇒ 9x² + 45x = 200x + 500
⇒ 9x² + 45x – 200x – 500 = 0
9x² – 155x – 500 = 0
⇒ 9x² – 180x + 25x – 500 = 0
⇒ 9x(x – 20) + 25(x – 20) = 0
(x – 20)(9x + 25) = 0
হয় (x – 20) = 0 নতুবা (9x + 25) = 0
বা, x = 20 বা, 9x = -25
বা, x = –²⁵/₉

সময় ঋণাত্মক হতে পারে না।
x ≠ – ²⁵/₉
∴ x = 25
x + 5 = 25 + 5 = 30
Ans: প্রথম নল দিয়ে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় 25 মিনিটে এবং
দ্বিতীয় নল দিয়ে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় 30 মিনিটে।

5. অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার। অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।
Solution:

ধরি, আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য x মিটার।
∴ প্রস্থ = ²⁰⁰⁰/_x মিটার।….. [ ∵ দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল; ∴ প্রস্থ = ক্ষেত্রফল/দৈর্ঘ্য] প্রশ্নানুযায়ী,
2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 180
⇒ 2( x + ²⁰⁰⁰/_x) = 180
⇒ x + ²⁰⁰⁰/_x = 90
(x² + 2000)x = 90
⇒ x² + 2000 = 90x
⇒ x² – 90x + 2000 = 0
x² – 50x – 40x + 2000 = 0
⇒ x(x – 50) – 40(x – 50) = 0
⇒ (x – 50)(x – 40) = 0
হয় (x – 50) = 0 নতুবা (x – 40) = 0
বা, x= 50 বা, x= 40
x = 50 হলে ²⁰⁰⁰/_x = ²⁰⁰⁰/₅₀ = 40
বা, x = 40 হলে ²⁰⁰⁰/_x = ²⁰⁰⁰/₄₀ = 50
Ans: আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য = 50 মিটার ও
প্রস্থ = 40 মিটার।

8. পর্ণা ও পীযূষ কোনো একটি কাজ একত্রে 4 দিনে সম্পূর্ণ করে । আলাদাভাবে একা কাজ করলে পর্ণার যে সময় লাগবে পীযূষের তার চেয়ে 6 দিন বেশি সময় লাগবে । পর্ণা একাকী কতদিনে কাজটি সম্পূর্ণ করতে পারবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ
ধরি, পর্ণা x দিনে একা কাজটি সম্পূর্ণ করতে পারে।
∴ পীযূষ (x+6) দিনে একা কাজটি সম্পূর্ণ করতে পারবে।
পর্ণা x দিনে করে 1 অংশ কাজ,
1 দিনে করে ¹/_x অংশ কাজ,
4 দিনে করে ⁴/_x অংশ কাজ
আবার, পীযূষ 4 দিনে করে ⁴/_(x+6) অংশ কাজ,
∴ পর্ণা ও পীযূষ একত্রে 4 দিনে করে ⁴/_x + ⁴/_(x+6) অংশ কাজ
প্রশ্নানুযায়ী,

x² + 6x = 8x + 24
⇒ x² + 6x – 8x – 24 = 0
⇒ x² – 2x – 24 = 0
x² – 6x + 4x – 24 = 0
⇒ x(x – 6) + 4(x – 6) = 0
⇒ (x – 6)(x + 4) = 0
হয় (x – 6) = 0 নতুবা (x + 4) = 0
বা, x= 6 বা, x= -4
দিন সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ x ≠ – 4
x = 6
Ans: পর্ণা একাকী 6 দিনে কাজটি সম্পূর্ণ করতে পারবে।

9. কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে 30 টাকায় আরও 3 টি বেশি কলম পাওয়া যাবে । কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ
ধরি প্রতি ডজন কলমের মূল্য x টাকা।
x টাকায় পাওয়া যায় 12 টি কলম ,
1 টাকায় পাওয়া যায় ¹²/_x টি কলম,
30 টাকায় পাওয়া যায় ^12×30/_x টি কলম।
কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে,
প্রতি ডজন কলমের মূল্য হয় (x – 6) টাকা।
সেক্ষেত্রে,
30 টাকায় পাওয়া যায় ^12×30/_{(x – 6)} টি কলম।
প্রশ্নানু্যায়ী,

x² – 6x = 720
⇒ x² – 6x – 720 = 0
⇒ x² – 30x + 24x – 720 = 0
x(x – 30) + 24(x – 30) = 0
⇒ (x – 30)(x + 24) = 0
হয় (x – 30) = 0 নতুবা (x + 24) = 0
বা, x = 30 বা, x= -24
মূল্য ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ x ≠ – 24
x = 30
Ans: কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য ছিল 30 টাকা।

(i) যদি ax² + bx + c = 0 সমীকরণটির a = 0 এবং b ≠ 0 হয় , তবে সমীকরণটি একটি ________ সমীকরণ ।

সমাধানঃ
ax² + bx + c = 0 সমীকরণটিতে a = 0 এবং b ≠ 0 হলে,
সমীকরণটি bx + c = 0 Hobe
Eti একটি রৈখিক সমীকরণের উদাহরণ।
Ans. রৈখিক

( ii ) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয় , তাহলে সমীকরণটি হলাে _________.

সমাধানঃ
দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1;
∴ সমীকরণটি হবে,   
(x – 1) (x – 1) = 0
⇒ (x – 1)² = 0
⇒ x² – 2x + 1 = 0
Ans.  x² – 2x + 1 = 0

(iii) x² = 6x সমীকরণটির বীজদ্বয়  _____ ও _____    

সমাধানঃ
x² = 6x
⇒ x² – 6x = 0
⇒ x(x – 6) = 0
∴  x = 0 অথবা 6]
Ans. 0, 6

( i ) x² + ax + 3 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে , a-এর মান নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ
  x² + ax + 3 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 1;
সমীকরণে x = 1 বসিয়ে পাই,
∴ (1)² + a.1 + 3 = 0
⇒ 1 + a + 3 = 0
⇒ a + 4 = 0
∴ a = – 4
Ans. a এর মান – 4

( ii ) x² – ( 2 + b ) x + 6 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে , অপর বীজটির মান লিখি ।

সমাধানঃ
x² – ( 2 + b ) x + 6 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2;
সমীকরণে x = 1 বসিয়ে পাই,
(2)² – ( 2 + b ) 2 + 6 = 0
4 –  4 – 2b + 6 = 0
⇒ -2b + 6 = 0
⇒ -2b = – 6
∴ b = 3
∴  x² – (2 + 3) x + 6 = 0
⇒ x² – 2x – 3x + 6 = 0
⇒ x(x – 2) – 3(x – 2) = 0
(x – 2) (x – 3) = 0
∴ x = 2, 3
Ans. সমীকরণের অপর বীজটির মান 3

( iii ) 2x² + kx + 4 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে , অপর বীজটির মান লিখি ।

সমাধানঃ
2x² + kx + 4 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2;
সমীকরণে x = 2 বসিয়ে পাই,
2.(2)² + k.2 + 4 = 0
⇒ 2.4 + 2k + 4 = 0
⇒ 8 + 2k + 4 = 0
2k + 12 = 0
⇒ 2k = -12
⇒ k = – 6
∵ 2x² – 6x + 4 = 0
⇒ x² – 3x + 2 = 0
⇒ x² – (2 + 1)x + 2 = 0
x² – 2x – x + 2 = 0
⇒ x(x – 2) -1(x – 2) = 0
⇒ (x – 2) (x – 1) = 0
∴  x = 2, 1
Ans. সমীকরণের অপর বীজটির মান 1.

( iv ) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার অন্যোন্যকের অন্তর ⁹/₂₀ ; সমীকরণটি লিখি ।

সমাধানঃ
ধরি,প্রকৃত ভগ্নাংশটি  = x
প্রশ্নানুযায়ী,
∴ তার অন্যোন্যক ¹/_x
¹/_x – x = ⁹/₂₀
Ans: সমীকরণটি হল: ¹/_x – x = ⁹/₂₀

 
( v ) ax² + bx + 35 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় –5 ও –7 হলে , a এবং b- এর মান লিখি ।

সমাধানঃ
ax² + bx + 35 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় –5 ও –7 ।
∴ x = – 5 হলে,
a(-5)² + b.(-5) + 35 = 0
⇒ 25a – 5b +35 = 0
⇒ 5a – b + 7 = 0 —— (i)
আবার x = – 7 হলে,
a(-7)² + b.(-7) + 35 = 0
⇒ 49a – 7b +35 = 0
⇒ 7a – b + 5 = 0 —— (ii)
(ii) – (i) করে পাই,
7a – b + 5 – (5a – b + 7)= 0 – 0
⇒ 7a – b + 5 – 5a + b – 7= 0
⇒ 2a – 2= 0
2a = 2
⇒ a = 1
(i) নং সমীকরণে a = 1 বসিয়ে পাই,
5.1 – b + 7 = 0
⇒ 5 – b +7 = 0
⇒ 12 – b = 0
– b = – 12
⇒ b = 12
Ans. a = 1, এবং b = 12