দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় SEMESTER-2

দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় SEMESTER-2

UNIT 2
CHAPTER 2
SEMESTER-2
দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয়
(Determination of the Angle between Two Straight Lines)
SEMESTER-2
PART-II

SEMESTER-2 দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয়

সংক্ষিপ্ত প্রশ্নাবলি
প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয়
(Determination of the Angle between Two Straight Lines]

সংক্ষিপ্ত প্রশ্নাবলি

1. মূলবিন্দু থেকে একটি সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)। দেখাও যে, সরলরেখাটির সমীকরণ হয়, hx + ky = h² + k² (h² + k² ≠ 0)

Solution: (0, 0) ও (h, k) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখার প্রবণতা(m₁) = ^k/_h
ধরি, লম্ব সরলরেখাটির প্রবণতা(m₂) = m
∵ m₁×m₂ = -1
∴ ^k/_h×m = -1
বা, m = –^h/_k
∴ (h, k) বিন্দুগামী এবং –^h/_k প্রবণতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
y – k = –^h/_k(x – h)
বা, ky – k² = -hx + h²
বা, hx + ky = h² + k²(Proved)

SEMESTER-2
সূচিপত্র

👉 UNIT-1 বীজগণিত

1. গাণিতিক আরোহ তত্ত্ব
2. দ্বিপদ উপপাদ্য
3. অনুক্রম এবং শ্রেণি
- অনুক্রম
- সমান্তর প্রগতি
- গুণোত্তর প্রগতি

👉 UNIT-2 স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (দ্বিমাত্রিক)

1. দ্বিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতির পূর্বপাঠের পুনরালোচনা
2. সরলরেখা
3. বৃত্ত
4. অধিবৃত্ত
5. উপবৃত্ত
6. পরাবৃত্ত
UNIT-3 পরিসংখ্যানবিদ্যা ও সম্ভাবনা
1. চিত্রের মাধ্যমে রাশিতথ্যের উপস্থাপনা
2. কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ
3. বিস্তৃতির পরিমাপ
4. সম্ভাবনা তত্ত্ব

👉 UNIT-3 পরিসংখ্যানবিদ্যা ও সম্ভাবনা

1. চিত্রের মাধ্যমে রাশিতথ্যের উপস্থাপনা
2. কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ
3. বিস্তৃতির পরিমাপ
4. সম্ভাবনা তত্ত্ব

2. 3x – 4y = 25 সরলরেখার ওপর অবস্থিত এবং মূলবিন্দু থেকে নিকটতম বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution: মূলবিন্দু থেকে 3x – 4y = 25 সরলরেখার ওপর অবস্থিত লম্ব পাদবিন্দু হবে মূলবিন্দু থেকে নিকটতম বিন্দু।
ধরি, লম্ব পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)
(h, k) বিন্দুটি 3x – 4y = 25 সরলরেখার ওপর অবস্থিত।
∴ 3h – 4k = 25 . . . (i)
3x – 4y = 25 সরলরেখার প্রবণতা(m₁) = ³/₄
আাবার (0, 0) ও (h, k) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখার প্রবণতা(m₂) = ^k/_h
∴ m₁×m₂ = -1
বা, ³/₄×^k/_h = -1
বা, k = –^4h/₃
(i) নং থেকে পাই,
3h – 4×(-^4h/₃) = 25
বা, 9h + 16h = 25×3
বা, 25h = 25×3
বা, h = 3
∴ k = –^4×3/₃ = -4
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (3, -4)
Ans: নিকটতম বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (3, -4)

3. প্রতিজোড়া সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় করো:

3. (i) প্রতিজোড়া সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় করো:
2x + 3y – 6 = 0; 3x – 2y + 11 = 0

Solution: 2x + 3y – 6 = 0 সরলরেখার প্রবণতা = –²/₃
এবং 3x – 2y + 11 = 0 সরলরেখার প্রবণতা = ³/₂
সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ θ হলে,

\(\quad tanθ = \left| \frac{\frac{3}{2} + \frac{2}{3}}{1-\frac{3}{2}.\frac{2}{3}} \right|\\⇒tanθ = \left| \frac{\frac{9+4}{6}}{1-1} \right|\\⇒tanθ = \left| \frac{\frac{13}{6}}{0} \right|\\⇒tanθ = ∞ = tan90°\)

∴ θ = 90°
Ans: সরলরেখার অন্তর্গত কোণ 90°

3. (ii) প্রতিজোড়া সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় করো:
2x – y = 9; x – 3y + 8 = 0

Solution: 2x – y = 9 সরলরেখার প্রবণতা = 2
এবং x – 3y + 8 = 0 সরলরেখার প্রবণতা = ¹/₃
ধরি, সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ θ হলে,

\(\quad tanθ = \left| \frac{2 – \frac{1}{3}}{1+2×\frac{1}{3}} \right|\\⇒tanθ = \left| \frac{\frac{6-1}{3}}{\frac{3+2}{3}} \right|\\⇒tanθ = \left| \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}} \right|\\⇒tanθ = 1 = tan45°\)

∴ θ = 45°
Ans: সরলরেখার অন্তর্গত কোণ 45°

3. (iii) প্রতিজোড়া সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় করো:
x – √3y = 3; √3x – y + 1 = 0

Solution: x – √3y = 3 সরলরেখার প্রবণতা = ¹/_√3
এবং √3x – y + 1 = 0 সরলরেখার প্রবণতা = √3
ধরি, সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ θ হলে,

\(\quad tanθ = \left| \frac{√3 – \frac{1}{√3}}{1+√3×\frac{1}{√3}} \right|\\⇒tanθ = \left| \frac{\frac{3-1}{√3}}{1+1} \right|\\⇒tanθ = \left| \frac{2}{2√3} \right|\\⇒tanθ = \frac{1}{√3} = tan30°\)

∴ θ = 30°
Ans: সরলরেখার অন্তর্গত কোণ 30°

3. (iv) প্রতিজোড়া সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় করো:
y – (2 + √3)x = 6; y = (2 – √3)x + 9

Solution: y – (2 + √3)x = 6 সরলরেখার প্রবণতা = 2 + √3
এবং y = (2 – √3)x + 9 সরলরেখার প্রবণতা = 2 – √3
ধরি, সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ θ হলে,

\(\quad tanθ = \left| \frac{2 + √3 -(2 – √3)}{1+(2 + √3)(2 – √3)} \right|\\⇒tanθ = \left| \frac{2 + √3 -2 + √3}{1+4 – 3} \right|\\⇒tanθ = \left| \frac{2√3}{2} \right|\\⇒tanθ = √3 = tan60°\)

∴ θ = 60°
Ans: সরলরেখার অন্তর্গত কোণ 60°

3. (v) প্রতিজোড়া সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় করো:
ax + by + c = 0; bx – ay + c₁= 0

Solution: ax + by + c = 0 সরলরেখার প্রবণতা = –^a/_b
এবং bx – ay + c₁ = 0 সরলরেখার প্রবণতা = ^b/_a
ধরি, সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ θ হলে,

\(\quad tanθ = \frac{\frac{b}{a}+\frac{a}{b}}{1+\frac{b}{a}×\frac{-a}{b}}\\⇒ tanθ = \frac{\frac{b}{a}+\frac{a}{b}}{1-1}\\⇒tanθ = \frac{\frac{b}{a}+\frac{a}{b}}{0}\)

⇒ tanθ = ∞ = tan90°
∴ θ = 90°
Ans: সরলরেখার অন্তর্গত কোণ 90°

3. (vi) প্রতিজোড়া সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় করো:
y = 3x + 5 ; 3y = x + 7
Solution: y = 3x + 5 সরলরেখার প্রবণতা = 3 এবং 3y = x + 7 সরলরেখার প্রবণতা = ¹/₃
ধরি, সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ θ হলে,

\(\quad tanθ = \left| \frac{3 -\frac{1}{3}}{1+3.\frac{1}{3}} \right|\\⇒ tanθ = \left| \frac{\frac{9-1}{3}}{2} \right|\\⇒ tanθ = \left| \frac{\frac{8}{3}}{2} \right|\\⇒ tanθ =\frac{4}{3}\\∴ θ = tan^{1}\frac{4}{3}\)

Ans: সরলরেখার অন্তর্গত কোণ tan^{-1 4}/₃

3. (vii) প্রতিজোড়া সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় করো:
px – qy + r = 0 ; (p + q)y + (q – p)x + r = 0
Solution: px – qy + r = 0 সরলরেখার প্রবণতা = ^p/_q
এবং (p + q)y + (q – p)x + r = 0 সরলরেখার প্রবণতা = –^(q-p)/_p+q = ^p-q/_p+q
ধরি, সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ θ হলে,

\(\quad tanθ = \frac{\frac{p}{q}-\frac{p-q}{p+q}}{1+\frac{p}{q}.\frac{p-q}{p+q}}\\⇒tanθ = \frac{p(p+q)-q(p-q)}{q(p+q)+p(p-q)}\\⇒tanθ = \frac{p^2+pq-pq+q^2}{pq+q^2+p^2-pq}\\⇒tanθ = \frac{p^2+q^2}{q^2+p^2}\)

⇒ tanθ = 1
⇒ tanθ = tan45°
∴ θ = 45°
Ans: সরলরেখার অন্তর্গত কোণ 45°

4. 3x + 4y – 11 = 0 সরলরেখার
(ⅰ) সমান্তরাল
(ii) ওপর লম্ব সরলরেখার প্রবণতা নির্ণয় করো।

Solution: 3x + 4y – 11 = 0 সরলরেখার প্রবণতা = –³/₄
(i) দুটি সরলরেখার প্রবণতা যথাক্রমে m₁ এবং m₂ হলে সমান্তরাল সরলরেখার ক্ষেত্রে,
m₁ = m₂ হয়।
∴ 3x + 4y – 11 = 0 সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার প্রবণতা –³/₄ (Ans)
(ii) দুটি সরলরেখার প্রবণতা যথাক্রমে m₁ এবং m₂ হলে লম্ব সরলরেখার ক্ষেত্রে,
m₁×m₂ = -1 হয়।
∴ 3x + 4y – 11 = 0 সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার প্রবণতা ⁴/₃ (Ans)

5. (3, 4) ও (2, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা (a, -2) ও (4, -a) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমান্তরাল; a-এর মান নির্ণয় করো। Solution: (3, 4) ও (2, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবনতা(m₁) = ^-1-4/_2-3 = 5
আবার, (a, -2) ও (4, -a) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবনতা(m₂) = ^-a+2/_4-a
∵ সরলরেখাদ্বয় সমান্তরাল
∴ m₁ = m₂
⇒ 5 = ^-a+2/_4-a
বা, -a + 2 = 20 – 5a
বা, 4a = 18
বা, a = ⁹/₂
Ans: a-এর মান ⁹/₂

6. (-2, 5) ও (-4, 3) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা (k, 0) ও (2, 3k) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর লম্ব; k-এর মান নির্ণয় করো।

Solution: (-2, 5) ও (-4, 3) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবনতা(m₁) = ^3-5/_-4+2 = 1
আবার (k, 0) ও (2, 3k) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবনতা(m₂) = ^3k-0/_2-k = ^3k/_2-k
∵ সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব।
∴ m₁×m₂ = -1
বা, 1×^3k/_2-k = -1
বা, 3k = -2 + k
বা, k = -1
Ans: k-এর মান -1

7. (2, 3) এবং (3, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর লম্ব এবং (2, 1) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: (2, 3) এবং (3, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবনতা = ^-1-3/_3-2 = -4
∴ লম্ব সরলরেখার প্রবনতা = ¹/₄
(2, 1) বিন্দুগামী এবং ¹/₄ প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
y – 1 = ¹/₄(x – 2)
বা, 4y – 4 = x – 2
বা, x – 4y + 2 = 0
Ans: নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ x – 4y + 2 = 0

8. (-3, 4) বিন্দুগামী ও 2x – 3y = 5 সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: 2x – 3y = 5 সরলরেখার প্রবনতা ²/₃
প্রদত্ত সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার প্রবনতা ²/₃
সমান্তরাল সরলরেখাটি (-3, 4) বিন্দুগামী।
∴ সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
y – 4 = ²/₃(x + 3)
বা, 3y – 12 = 2x + 6
বা, 2x – 3y + 18 = 0
Ans: সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ 2x – 3y + 18 = 0

9. (2, -3) বিন্দু দিয়ে যায় এবং 2x + 3y + 5 = 0 এর সঙ্গে লম্ব হবে এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: 2x + 3y + 5 = 0 এর সঙ্গে লম্ব সরলরেখার সমীকরণ 3x – 2y + k = 0
সরলরেখাটি (2, -3) বিন্দুগামী।
∴ 3.2 – 2.(-3) + k = 0
বা, k = -12
∴ লম্ব সরলরেখার সমীকরণ:
3x – 2y – 12 = 0
বা, 3x – 2y = 12
Ans: নির্নেয় সরলরেখার সমীকরণ 3x – 2y = 12

10. (3, -4) বিন্দুগামী এবং (4, 7) ও (-5, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: (4, 7) ও (-5, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবনতা
= ^1-7/_-5-4 = ^-6/_-9 = ²/₃
∴ সমান্তরাল সরলরেখার প্রবনতা ²/₃
(3, -4) বিন্দুগামী এবং ²/₃ প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
y + 4 = ²/₃(x – 3)
বা, 2x – 3y = 18
Ans: নির্নেয় সরলরেখার সমীকরণ 2x – 3y = 18

11. 2x – 3y + 5 = 0 ও px + 2y = 6 সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হলে, p-এর মান কত হবে?
Solution: 2x – 3y + 5 = 0 সরলরেখার প্রবনতা = ²/₃ ও
px + 2y = 6 সরলরেখার প্রবনতা = –^p/₂
সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল।
∴ ²/₃ = –^p/₂
বা, p = –⁴/₃
Ans: p = –⁴/₃

12. 5x – 9y – 12 = 0 ও mx + 10y = 2 সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব হলে, m-এর মান কত?
Solution: 5x – 9y – 12 = 0 সরলরেখার প্রবনতা = ⁵/₉ ও
mx + 10y = 2 সরলরেখার প্রবনতা = –^m/₁₀
সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব।
∴ ⁵/₉×(-^m/₁₀) = -1
বা, m = 18
Ans: m = 18

13. (1, -2), (3, 2) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা এবং x + 2y – 7 = 0 সরলরেখার অন্তর্বর্তী কোণের পরিমাপ কত?

Solution: (1, -2), (3, 2) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখার প্রবনতা(m₁) = ²⁺²/_3-1 =2
x + 2y – 7 = 0 সরলরেখার প্রবনতা(m₂) = –¹/₂
∴ m₁×m₂ = 2×-¹/₂ = -1
∴ অন্তর্বর্তী কোণের পরিমাপ 90°
Ans: অন্তর্বর্তী কোণের পরিমাপ 90°

14. মূলবিন্দু এবং y – x + 7 = 0 ও y + 2x – 2 = 0 সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর সংযোগকারী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: y – x + 7 = 0 ও y + 2x – 2 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:

\(\frac{x}{2-14} = \frac{y}{7+2}= \frac{1}{2+1}\\⇒\frac{x}{-12} = \frac{y}{9}= \frac{1}{3}\\⇒\frac{x}{-4} = \frac{y}{3}=1\)

∴ x = -4, y = 3
ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-4, 3)
∴ (0, 0) এবং (-4, 3) সংযোগকারী সরলরেখার সমীকরণ:

\(\quad \frac{y – 3}{3 – 0}= \frac{x + 4}{-4 – 0}\\⇒\frac{y – 3}{3}= \frac{x + 4}{-4}\)

⇒ 3x +12 = -4y + 12
⇒ 3x + 4y = 0
Ans: নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ 3x + 4y = 0

Click here to visit our Facebook

বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি প্রতিটি প্রশ্নের মান 3

1. x + 2y + 3 = 0 ও 3x + 4y + 7 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী এবং y = – ⁵/₈x সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

olution: x + 2y + 3 = 0 ও 3x + 4y + 7 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:

\(\quad \frac{x}{14-12} = \frac{y}{9-7}= \frac{1}{4-6}\\⇒\frac{x}{2} = \frac{y}{2}= \frac{1}{-2}\\⇒\frac{x}{-1} = \frac{y}{-1}=1\)

∴ x = -1, y = -1
ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, -1)
y = – ⁵/₈x সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার প্রবনতা – ⁵/₈
(-1, -1) বিন্দুগামী এবং –⁵/₈ প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
y + 1 = – ⁵/₈(x + 1)
বা, 8y + 8 = -5x – 5
বা, 5x + 8y + 13 = 0
Ans: সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ 5x + 8y + 13 = 0

2. মনে করো A(2, 2), B(6, -1) ও C(7, 3) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট ত্রিভুজের AD একটি মধ্যমা। (1, -1) বিন্দুগামী এবং AD সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: BC বাহুর মধ্যবিন্দু D(⁶⁺⁷/₂, ^-1+3/₂) = (¹³/₂, 1)
AD মধ্যমার সমীকরণ:

\(\frac{y – 1}{1-2}= \frac{x – \frac{13}{2}}{\frac{13}{2}-2}\\⇒\frac{y – 1}{-1}= \frac{2x – 13}{13-4}\\⇒\frac{y – 1}{-1}= \frac{2x – 13}{9}\)

⇒ 9y – 9 = -2x + 13
বা, 2x + 9y = 23
2x + 9y = 23 সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ 2x + 9y = k
2x + 9y = k সরলরেখাটি (1, -1) বিন্দুগামী।
∴ 2.1 + 9.(-1) = k
বা, k = -7
সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
2x + 9y = -7
বা, 2x + 9y + 7 = 0
Ans: সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ 2x + 9y + 7 = 0

3. 2x – y + 5 = 0 ও 5x + 3y – 4 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী যে সরলরেখাটি x – 3y + 21 = 0 সরলরেখার ওপর লম্ব তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: 2x – y + 5 = 0 ও 5x + 3y – 4 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:

\(\quad \frac{x}{4-15} = \frac{y}{25+8}= \frac{1}{6+5}\\⇒\frac{x}{-11} = \frac{y}{33}= \frac{1}{11}\\⇒\frac{x}{-1} = \frac{y}{3}=1\)

∴ x = -1, y = 3
ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, 3)
x – 3y + 21 = 0 সরলরেখার প্রবণতা = ¹/₃
∴ x – 3y + 21 = 0 সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার প্রবণতা = -3
(-1, 3) বিন্দুগামী ও -3 প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
y – 3 = -3(x + 1)
বা, 3x + y = 0
Ans: নির্নেয় সরলরেখার সমীকরণ 3x + y = 0

4. x – y + 1 = 0 সরলরেখাটির ওপর লম্ব সরলরেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে যে কোণ উৎপন্ন করে তার মান নির্ণয় করো।

Solution: x – y + 1 = 0 সরলরেখার প্রবণতা 1
∴ প্রদত্ত সরলরেখার সঙ্গে লম্ব যে-কোনো সরলরেখার প্রবণতা -1
ধরি, নির্নেয় লম্ব সরলরেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে θ কোণ উৎপন্ন করে।
∴ tanθ = -1 = -tan45°
বা, tanθ = tan(180° – 45)° = tan135°
বা, θ = 135°
Ans: উৎপন্ন কোণের মান 135°

5. (2, -5) বিন্দুগামী ও x – y = 1 সরলরেখার ওপর লম্ব রেখাটি প্রদত্ত সরলরেখাকে কোথায় ছেদ করে তা নির্ণয় করো।
Solution: x – y = 1 সরলরেখার প্রবনতা = 1
∴ প্রদত্ত সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার প্রবনতা = -1
(2, -5) বিন্দুগামী ও -1 প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
y + 5 = -1(x – 2)
বা, x + y + 3 = 0
x – y = 1 ও x + y + 3 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:

\(\quad \frac{x}{-3+1} = \frac{y}{-1-3}= \frac{1}{1+1}\\⇒\frac{x}{-2} = \frac{y}{-4}= \frac{1}{2}\\⇒\frac{x}{-1} = \frac{y}{-2}=1\)

∴ x = -1, y = -2
ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, -2)
Ans: নির্নেয় ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, -2)

6. দেখাও যে (a cos³θ, a sin³θ) বিন্দুগামী এবং x secθ+ y cosecθ= a সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ হয় x cosθ- y sinθ= a cos2θ

Solution: x secθ + y cosecθ = a সরলরেখার প্রবনতা = –^secθ/_cosecθ = –^sinθ/_cosθ
∴ প্রদত্ত সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার প্রবনতা = ^cosθ/_sinθ
(a cos³θ, a sin³θ) বিন্দুগামী ও ^cosθ/_sinθ প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
y – a sin³θ = ^cosθ/_sinθ(x – a cos³θ)
বা, xcosθ – acos⁴θ = ysinθ – asin⁴θ
বা, xcosθ – ysinθ = acos⁴θ – asin⁴θ
বা, xcosθ – ysinθ = a(cos⁴θ – sin⁴θ)
বা, xcosθ – ysinθ = a(cos²θ + sin²θ)(cos²θ – sin²θ)
বা, xcosθ – ysinθ = a(cos²θ – sin²θ) = acos2θ
∴ xcosθ – ysinθ = acos2θ(Proved)

7. (2, -4) এবং (-6, 0) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় করো। মূলবিন্দু থেকে নির্ণেয় সরলরেখার লম্বদূরত্ব কত?

Solution: (2, -4) এবং (-6, 0) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দু (^2-6/₂, ^-4+0/₂) বা, (-2, -2)
আবার (2, -4) এবং (-6, 0) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের প্রবনতা
= ⁰⁺⁴/_-6-2 = –¹/₂
∴ নির্নেয় লম্ব-সমদ্বিখন্ডকের প্রবনতা = 2
∴ (2, -4) এবং (-6, 0) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের লম্ব-সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ:
y + 2 = 2(x + 2)
বা, y = 2x + 2
মূলবিন্দু থেকে সমদ্বিখণ্ডকের দূরত্ব

\(=\frac{\left|2.0 – 1.0 + 2 \right|}{\sqrt{2^2+1^2}}\\=\frac{\left|2 \right|}{\sqrt{5}}=\frac{2 }{\sqrt{5}}\ \)একক

Ans: লম্ব-সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ y = 2x + 2 এবং
মূলবিন্দু থেকে সমদ্বিখণ্ডকের দূরত্ব ²/_√5 একক

8. (-2, 7) এবং (8, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের লম্ব-সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় করো। এই সমদ্বিখণ্ডকের মূলবিন্দু থেকে দূরত্বও নির্ণয় করো।

Solution: (-2, 7) এবং (8, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দু (^-2+8/₂, ^7-1/₂) বা, (3, 3)
এবং (-2, 7) এবং (8, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের প্রবনতা = ^-1-7/₈₊₂ = – ⁴/₅
∴ নির্নেয় লম্ব-সমদ্বিখন্ডকের প্রবনতা = ⁵/₄
∴ (-2, 7) এবং (8, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের লম্ব-সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ:
y – 3 = ⁵/₄(x – 3)
বা, 5x – 4y = 3
মূলবিন্দু থেকে সমদ্বিখণ্ডকের দূরত্ব

\(=\frac{\left| 5.0 – 4.0 – 3 \right|}{\sqrt{5^2+4^2}}\\=\frac{\left|- 3 \right|}{\sqrt{41}}=\frac{3}{\sqrt{41}}\ \)একক

Ans: লম্ব-সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ 5x – 4y = 3 এবং
মূলবিন্দু থেকে সমদ্বিখণ্ডকের দূরত্ব ³/_√41 একক

\(9.\ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\ \)সরলরেখা 7x + 9y = 3 ও 2y – x + 7 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী এবং 5x – 6y + 15 = 0 সরলরেখার সঙ্গে 90° কোণ করে। a ও b-এর মান নির্ণয় করো।

Solution: 7x + 9y = 3 ও 2y – x + 7 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:

\(\quad \frac{x}{63+6} = \frac{y}{3-49}= \frac{1}{114+9}\\⇒\frac{x}{69} = \frac{y}{-46}= \frac{1}{23}\\⇒\frac{x}{3} = \frac{y}{-2}=1\)

∴ x = 3, y = -2
ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, -2)

\(\ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\ \)সরলরেখা (3, -2) বিন্দুগামী। \(\\∴ \frac{3}{a}-\frac{2}{b}=1\\⇒3b-2a=ab\ \)আবার \(\ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\ \) সরলরেখার প্রবনতা \(-\frac{b}{a}\)

এবং 5x – 6y + 15 = 0 সরলরেখার প্রবনতা ⁵/₆
প্রশ্নানুযায়ী,
–^b/_a×⁵/₆ = -1
বা, b = ^6a/₅
3b – 2a = ab সমীকরণে b = ^6a/₅ বসিয়ে পাই,
3.^6a/₅ – 2a = a.^6a/₅
বা, 18a – 10a = 6a²
বা, 8a = 6a²
বা, 6a = 8 . . . (∵ a ≠ 0)
বা, a = ⁴/₃
∴ b = ⁶/₅.⁴/₃ = ⁸/₅
Ans: a = ⁴/₃ এবং b = ⁸/₅

10. 8x – 18y + 31 = 0 সরলরেখাটি P(2, 8) এবং Q(h, k) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে। h, k-এর মান নির্ণয় করো।

Solution: (2, 8) এবং (h, k) বিন্দু দুটির মধ্যবিন্দু (^2+h/₂, ^8+k/₂)
(^2+h/₂, ^8+k/₂) বিন্দুটি 8x – 18y + 31 = 0 সরলরেখার উপর অবস্থিত।
∴ 8.^2+h/₂ – 18.^8+k/₂ + 31 = 0
বা, 8 + 4h – 72 – 9k + 31 = 0
বা, 4h – 9k – 33 = 0 . . . (i)
8x – 18y + 31 = 0 সরলরেখার প্রবনতা ⁴/₉
(2, 8) এবং (h, k) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবনতা = ^{k – 8}/_{h – 2}
∵ 8x – 18y + 31 = 0 সরলরেখা এবং PQ সরলরেখা পরস্পর লম্ব,
∴ ⁴/₉ × ^{k – 8}/_{h – 2} = -1
বা, -9h + 18 = 4k – 32
বা, 9h + 4k – 50 = 0 . . . (ii)
(i) ও (ii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু:

\(\quad \frac{h}{450+132} = \frac{k}{-297+200}= \frac{1}{16+81}\\⇒\frac{h}{582} = \frac{k}{-97}= \frac{1}{97}\\⇒\frac{h}{6} = \frac{k}{-1}=1\)

∴ h = 6, k = -1
Ans: h, k-এর মান যথাক্রমে 6 এবং -1

11. 3x – 4y + 8 = 0 সরলরেখার সমান্তরাল দিকে পরিমিত (2, 5) বিন্দুটির 3x + y + 4 = 0 সরলরেখা থেকে দূরত্ব নির্ণয় করো।

Solution:

3x – 4y + 8 = 0 . . . (i) সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ 3x – 4y + k = 0
সরলরেখাটি (2, 5) বিন্দুগামী।
∴ 3.2 – 4.5 + k = 0
বা, k = 14
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ: 3x – 4y + 14 = 0 . . . (ii)
আবার 3x + y + 4 = 0 . . . (iii)
(ii) ও (iii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু:

\(\quad \frac{x}{-16-14} = \frac{y}{42-12}= \frac{1}{3+12}\\⇒\frac{x}{-30} = \frac{y}{30}= \frac{1}{15}\\⇒\frac{x}{-2} = \frac{y}{2}= 1\)

∴ x = -2, y = 2
(ii) ও (iii)-এর ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-2, 2)
নির্ণেয় দূরত্ব
= (2, 5) ও (-2, 2) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব

\(= \sqrt{(2 + 2)2 + (5 – 2)2} = \sqrt{4^2 + 3^2}\\=√25 = 5\) একক

Ans: নির্ণেয় দূরত্ব 5 একক

12. x – y = 1 সরলরেখার ওপর (2, -5) ও (6, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

Solution:প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ x – y = 1 . . . (i)
(2, -5) ও (6, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ:

\(\quad \frac{y + 1}{-1+5} = \frac{x – 6}{6-2}\\⇒\frac{y + 1}{4} = \frac{x – 6}{4}\)

⇒ y + 1 = x – 6
বা, x – y = 7 . . . (ii)
∴ (i) ও (ii) নং সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল।
সুতরাং (2, -5) ও (6, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের (i) নং সরলরেখার ওপর লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য
= বিন্দু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব

\(= \sqrt{(6 – 2)^2 + (-1 + 5)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2}\\=√32 = 4√2 \)একক

Ans: লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য 4√2 একক

13. ABC ত্রিভুজের BC, CA ও AB বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে 2x + y + 1 = 0 , 2x + 3y + 1 = 0 ও 3x + 4y + 3 = 0 হলে, A থেকে BC এর ওপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: ABC ত্রিভুজের,
AB বাহু: 3x + 4y + 3 = 0 . . . (i)
BC বাহু: 2x + y + 1 = 0 . . . (ii)
CA বাহু: 2x + 3y + 1 = 0 . . . (iii)
AB ও CA বাহুর ছেদবিন্দু:

\(\quad \frac{x}{4-9} = \frac{y}{6-3}= \frac{1}{9-8}\\⇒\frac{x}{-5} = \frac{y}{3}= 1\)

∴ x = -5, y = 3
A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-5, 3)
BC -এর ওপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ x – 2y + k = 0 . . . (iv)
(iv) নং সমীকরণ (-5, 3) বিন্দুগামী।
∴ -5 – 2.3 + k = 0
বা, k = 11
BC -এর ওপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ x – 2y + 11 = 0
Ans: নির্নেয় সমীকরণ x – 2y + 11 = 0

14. A(- 2, 7), B(7, 15), C(- 1, – 5) এবং D(h, k) বিন্দুগুলি একটি সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দুগুলিকে সূচিত করে এবং BC তার একটি কর্ণ। (h, k) নির্ণয় করো এবং সামান্তরিকের কর্ণ দুটির অন্তর্গত কোণের পরিমাপ নির্ণয় করো।

Solution: ABCD সামান্তরিকের AD কর্ণের মধ্যবিন্দু = (^{-2 + h}/₂, ^{7 + k}/₂)
BC কর্ণের মধ্যবিন্দু = (^{7 – 1}/₂, ^{15 – 5}/₂) = (3, 5)
সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ ^{-2 + h}/₂ = 3 এবং ^{7 + k}/₂ = 5
⇒ h = 8 এবং k = 3
∴ (h, k) = (8, 3) (Ans)
AD কর্ণের প্রবনতা(m₁) = ^{3 – 7}/_{8 + 2} = – ²/₅
BC কর্ণের প্রবনতা(m₂) = ^{15 + 5}/_{7 + 1} = ⁵/₂
∴ m₁×m₂= – ²/₅×⁵/₂ = -1
∴ সামান্তরিকের কর্ণ দুটির অন্তর্গত কোণের পরিমাপ 90° (Ans)

15. দেখাও যে (1, 4), (3, -2) এবং (-3, 16) স্থানাঙ্কবিশিষ্ট বিন্দু তিনটি একই সরলরেখার ওপর অবস্থিত। বিন্দুগুলি যে সরলরেখার ওপর অবস্থিত তার সমীকরণ লেখো। দেখাও যে এই সরলরেখাটি 2x – 6y + 13 = 0 সরলরেখার ওপর লম্ব।

Solution: (1, 4) ও (3, -2) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ:

\(\quad \frac{y + 2}{-2 – 4}= \frac{x – 3}{3 – 1}\\⇒\frac{y + 2}{-6}= \frac{x – 3}{2}\\⇒ \frac{y + 2}{-3}= x – 3\)

বা, y + 2 = -3x + 9
বা, 3x + y = 7 . . . (i)
(i) নং সমীকরণের বামপক্ষে (-3, 16) বসিয়ে পাই,
3.(-3) + 16 = 7
(-3, 16) বিন্দু দ্বারা (i) নং সমীকরণ সিদ্ধ হয়।
∴ (1, 4), (3, -2) এবং (-3, 16) স্থানাঙ্কবিশিষ্ট বিন্দু তিনটি একই সরলরেখার ওপর অবস্থিত। (Proved)
বিন্দুগুলি যে সরলরেখার ওপর অবস্থিত তার সমীকরণ 3x + y = 7 (Ans)
3x + y = 7 সরলরেখার প্রবনতা(m₁)= -3
2x – 6y + 13 = 0 সরলরেখার প্রবনতা(m₂) = ¹/₃
∴ m₁×m₂ = -3×¹/₃ = -1
∴ 3x + y = 7 সরলরেখাটি 2x – 6y + 13 = 0 সরলরেখার ওপর লম্ব। (Proved)

16. একটি সরলরেখা AB, y-অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করে এবং B বিন্দুতে AB-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব সরলরেখা x-অক্ষকে C বিন্দুতে ছেদ করে। AB সরলরেখার সমীকরণ\(\ \frac{x}{3} – \frac{y}{4} = -1 \ \)হলে C বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution:

AB সরলরেখার সমীকরণ:

\(\quad\frac{x}{3} – \frac{y}{4} = -1\\⇒\frac{x}{-3} + \frac{y}{4} =-1\\⇒4x-3y-12=0\)

AB সরলরেখাটি x ও y অক্ষকে যথাক্রমে A(-3, 0) ও B(0, 4) বিন্দুতে ছেদ করে।
AB-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব সরলরেখা হল
3x + 4y + k = 0 . . . (i)
(i) নং সরলরেখাটি B(0, 4) বিন্দুগামী।
∴ 3.0 + 4.4 + k = 0
বা, k = -16
(i) নং সমীকরণে k = -16 বসিয়ে পাই,

\(\quad 3x + 4y -16=0\\⇒\frac{3x}{16} + \frac{4y}{16} = 1\\⇒\frac{x}{\frac{16}{3}} + \frac{y}{4} = 1\)B বিন্দুতে AB-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব সরলরেখার সমীকরণ \(\ \frac{x}{\frac{16}{3}} + \frac{y}{4} = 1\)

সরলরেখাটি x অক্ষকে (¹⁶/₃, 0) বিন্দুতে ছেদ করে।
∴ C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (¹⁶/₃, 0)
Ans: C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (¹⁶/₃, 0)

17. একটি সরলরেখার প্রবণতা 7; এই সরলরেখার সঙ্গে 45° কোণে নত সরলরেখা দুটির প্রবণতা নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, নির্নেয় সরলরেখার প্রবণতা m
প্রদত্ত সরলরেখার প্রবণতা 7
প্রশ্নানুযায়ী,
|^{m – 7}/_{1 + 7m}| = tan45° = 1
বা, ^{m – 7}/_{1 + 7m} = ± 1
বা, m – 7 = ±(1 + 7m)
(+) চিহ্ন ধরে,
m – 7 = 1 + 7m
⇒ 6m = – 8
⇒ m = – ⁴/₃
(-) চিহ্ন ধরে,
m – 7 = -(1 + 7m)
বা, m – 7 = -1 – 7m
⇒ 8m = 6
⇒ m = ³/₄
Ans: সরলরেখা দুটির প্রবণতা –⁴/₃ এবং ³/₄

18. 4x – 3y + 7 = 0 সরলরেখার ওপর লম্ব যেসব সরলরেখার মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 3 একক তাদের সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: 4x – 3y + 7 = 0 সরলরেখার ওপর লম্ব কোনো সরলরেখার সমীকরণ 3x + 4y + k = 0
মূলবিন্দু থেকে 3x + 4y + k = 0 সরলরেখার দূরত্ব

\(= \frac{\left| 0 + 0 + k \right|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{|k|}{5}\)

প্রশ্নানুযায়ী,
^|k|/₅ = 3
বা, k = ± 15
∴ লম্ব সরলরেখার সমীকরণ:
3x + 4y ± 15 = 0
বা, 3x + 4y = ± 15
Ans: লম্ব সরলরেখার সমীকরণ 3x + 4y = ± 15

19. মূলবিন্দুগামী যে রেখা (4, 0) এবং (0, 4) বিন্দুদুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর লম্ব, তার সমীকরণ নির্ণয় করো। দেখাও যে সরলরেখাটির সাপেক্ষে (0, 4) বিন্দুটির প্রতিবিম্ব (4, 0)।

Solution: ধরি, মূলবিন্দুগামী সরলরেখাটির সমীকরণ y = mx . . [যেখানে m সরলরেখার প্রবনতা]
(4, 0) এবং (0, 4) বিন্দুদুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবনতা
= ^4-0/_0-4 = – 1
∵ মূলবিন্দুগামী সরলরেখাটি (4, 0) এবং (0, 4) বিন্দুদুটির সংযোজক সরলরেখার উপর লম্ব।
∴ m×-1 = -1
বা, m = 1
অতএব মূলবিন্দুগামী সরলরেখাটির সমীকরণ:
y =1.x
বা, x – y = 0
নির্নেয় সমীকরণ x – y = 0 (Ans)
x – y = 0 সরলরেখার লম্ব সরলরেখার সমীকরণ x + y = k
এটি (0, 4) বিন্দুগামী।
∴ 0 + 4 = k
বা, k = 4
∴ লম্ব সরলরেখার সমীকরণ x + y = 4
x – y = 0 এবং x + y = 4 সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 2)
প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k) হলে,
^h+0/₂ = 2
বা, h = 4
এবং ^k+4/₂ = 2
বা, k = 0
∴ প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, 0) (Proved)

20. y = mx; y = mx + 1; y = nx এবং y = nx + 1 সরলরেখা চারটি দ্বারা উৎপন্ন সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
Solution:

প্রদত্তসরলরেখা চারটির সমীকরণ:
y = mx . . . . (i)
y = nx . . . . (ii)
y = mx + 1 . . . . (iii) এবং
y = nx + 1 . . . . (iv)
স্পষ্টতই (i) ও (iii) এবং (ii) ও (iv) নং সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল সরলরেখা।
ধরি, ABCD সামান্তরিকের,
AB বাহু: y = mx
BC বাহু: y = nx
CD বাহু: y = mx + 1
DA বাহু: y = nx + 1
(i) ও (ii)-এর ছেদবিন্দু(B):
mx = nx
বা, x(m – n) = 0
বা, x = 0
(i) নং থেকে পাই, y = m.0 = 0
∴ B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 0)
(ii) ও (iii)-এর ছেদবিন্দু(C):
nx = mx + 1
বা, x(n – m) = 1
বা, x = ¹/_n-m
(ii) নং থেকে পাই,
y = n.¹/_n-m = ⁿ/_n-m
∴ C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (¹/_n-m, ⁿ/_n-m)
(i) ও (iv)-এর ছেদবিন্দু(A):
mx = nx + 1
বা, x(m – n) = 1
বা, x = ¹/_m-n
(i) নং থেকে পাই,
y = m.¹/_m-n = ^m/_m-n
∴ A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (¹/_m-n, ^m/_m-n)
∴△ABC-এর ক্ষেত্রফল

\(=\frac{1}{2}\left| \frac{1}{m-n} \left( 0 – \frac{n}{n-m} \right) + 0\left( \frac{n}{n-m} – \frac{m}{m-n} \right) + \frac{1}{n-m}\left( \frac{m}{m-n} – 0 \right) \right| \\=\frac{1}{2}\left| \frac{1}{m-n} \left( – \frac{n}{n-m} \right) + 0 + \frac{1}{n-m}.\frac{m}{m-n} \right|\\=\frac{1}{2}\left| \frac{1}{m-n}.\frac{n}{m-n} – \frac{1}{m-n}.\frac{m}{m-n} \right|\\=\frac{1}{2}\left|\frac{n}{(m-n)^2} – \frac{m}{(m-n)^2} \right| \\= \frac{1}{2}\left|\frac{-(m-n)}{(m-n)^2}\right|\\=\frac{1}{2|m-n|} \)

∴ সামান্তরিক ABCD-এর ক্ষেত্রফল
= 2×△ABC-এর ক্ষেত্রফল
= 2×¹/_2|m-n| = ¹/_|m-n| বর্গএকক
Ans: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ¹/_|m-n| বর্গএকক

21. মূলবিন্দুগামী দুটি সরলরেখা 2x + 3y = 6 সরলরেখার সঙ্গে একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ উৎপন্ন করে, মূলবিন্দুগামী সরলরেখা দুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: 2x + 3y = 6 সরলরেখার প্রবনতা = –²/₃ ধরি, মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ y = mx . . [যেখানে m সরলরেখার প্রবনতা]
মূলবিন্দুগামী সরলরেখা প্রদত্ত সরলরেখার সঙ্গে সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ উৎপন্ন করে।
∴ মূলবিন্দুগামী সরলরেখা দুটি প্রদত্ত সরলরেখার সঙ্গে 45° কোণ উৎপন্ন করে।

\(\quad tan45° = \left| \frac{m + \frac{2}{3}}{1-m.\frac{2}{3}} \right|\\⇒ 1 = \left| \frac{3m + 2}{3 – 2m} \right| \\⇒\frac{3m + 2}{3 – 2m} = ± 1\\⇒(3m + 2)= ±(3 – 2m) \)

(+) চিহ্ন ধরে,
3m + 2 = 3 – 2m
⇒ 5m = 1
⇒ m = ¹/₅
(-) চিহ্ন ধরে,
3m + 2 = -(3 – 2m)
বা, 3m + 2 = -3 + 2m
⇒ m = -5
m = ¹/₅ হলে, সরলরেখার সমীকরণ হয়:
y -0 = ¹/₅(x – 0)
বা, y = ¹/₅x
বা, x – 5y = 0
m = -5 হলে সরলরেখার সমীকরণ হয়
y -0 = -5(x – 0)
বা, y = -5x
বা, 5x + y = 0
Ans: মূলবিন্দুগামী সরলরেখা দুটির সমীকরণ:
x – 5y = 0 এবং 5x + y = 0

22. x – 2y + 5 = 0 সরলরেখায় চলমান একটি রশ্মি 3x – 2y + 7 = 0 সরলরেখার উপর প্রতিফলিত হয়। প্রতিফলিত রশ্মির পথের সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: আপতিত রশ্মির সমীকরণ x – 2y + 5 = 0 . . . (i)
∴ আপতিত রশ্মির প্রবনতা = ¹/₂
প্রতিফলকের সমীকরণ 3x – 2y + 7 = 0 . . . (ii)
∴ প্রতিফলকের প্রবনতা = ³/₂
ধরি, প্রতিফলিত রশ্মির প্রবনতা m
আপতিত রশ্মি ও প্রতিফলকের মধ্যবর্ত্তী কোণ = প্রতিফলিত রশ্মি ও প্রতিফলকের মধ্যবর্ত্তী কোণ

\(⇒ \left| \frac{\frac{1}{2} – \frac{3}{2}}{1 + \frac{1}{2}.\frac{3}{2}} \right| = \left| \frac{m – \frac{3}{2}}{1 + m.\frac{3}{2}} \right| \\⇒ \frac{1}{\frac{7}{4}}=\frac{2m-3}{2+3m}\\⇒\frac{2m-3}{2+3m} = ±\frac{4}{7}\)

(+) চিহ্ন ধরে,
7(2m – 3) = 4(2 + 3m)
⇒ 14m – 21 = 8 + 12m
⇒ 2m = 29
⇒ m = ²⁹/₂
(-) চিহ্ন ধরে,
7(2m – 3) = – 4(2 + 3m)
⇒ 14m – 21 = -8 – 12m
⇒ 26m = 13
⇒ m = ¹/₂
m ≠ ¹/₂
∴ m = ²⁹/₂
x – 2y + 5 = 0 এবং 3x – 2y + 7 = 0 সরলরেখার ছেদবিন্দু:

\(\quad \frac{x}{-14+10} = \frac{y}{15-7}= \frac{1}{-2+6}\\⇒\frac{x}{-4} = \frac{y}{8}= \frac{1}{4}\\⇒\frac{x}{-1} = \frac{y}{2}= 1\\∴ x = -1, \ y = 2\)

ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, 2)
(-1, 2) বিন্দুগামী এবং ²⁹/₂ প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখাটির সমীকরণ:
y – 2 = ²⁹/₂(x + 1)
বা, 29x – 2y + 33 = 0
Ans: প্রতিফলিত রশ্মির পথের সমীকরণ:
29x – 2y + 33 = 0

23. একটি আলোকরশ্মি (1, 2) বিন্দু থেকে এসে x অক্ষের ওপর অবস্থিত A বিন্দুতে প্রতিফলিত হওয়ার পর (5, 3) বিন্দুগামী হয়। A বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, x-অক্ষে অবস্থিত A বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (h, 0) এবং আলোকরশ্মিটি P(1, 2) বিন্দু থেকে এসে প্রতিফলিত হওয়ার পর Q(5, 3) বিন্দুগামী হয়।
AQ সরলরেখাটি x অক্ষের সঙ্গে θ কোণ উৎপন্ন করলে,
tanθ = ^{3 – 0}/_{5 – h} = ³/_{5 – h}
AP সরলরেখাটি x অক্ষের সঙ্গে (π – θ) কোণ উৎপন্ন করে।
∴ tan(π – θ) = ^{2 – 0}/_{1 – h}
বা, -tanθ = ²/_{1 – h}
∴ –³/_{5 – h} = ²/_{1 – h}
বা, -3 + 3h = 10 – 2h
বা, 5h = 13
বা, h = ¹³/₅
Ans: A বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (¹³/₅, 0)

24. (8, 3) বিন্দুগামী একটি আলোকরশ্মি x অক্ষের ওপর অবস্থিত (14, 0) বিন্দুতে প্রতিফলিত হয়। প্রতিফলিত রশ্মির সমীকরণ নির্ণয় করো

Solution:
ধরি, প্রতিফলিত রশ্মির প্রবনতা m
আপতিত রশ্মির প্রবনতা = ^{0 – 3}/_{14 – 8} = –³/₆ = –¹/₂
x-অক্ষের প্রবনতা 0
x-অক্ষের সঙ্গে আপতিত রশ্মির কোণ = x-অক্ষের সঙ্গে প্রতিফলিত রশ্মির কোণ

\(⇒\left| \frac{0+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}.0} \right|=\left| \frac{m-0}{1+m.0} \right|\\⇒\frac{1}{2}=±m\\⇒m=±\frac{1}{2}\\∴ m = \frac{1}{2} . . . . [∵ m ≠ \frac{1}{2}]\)

(14, 0) বিন্দুগামী এবং ¹/₂ প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
y – 0 = ¹/₂(x – 14)
বা, x – 2y = 14
Ans: প্রতিফলিত রশ্মির সমীকরণ x – 2y = 14

25. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের দুটি বাহুর সমীকরণ হয়, 7x – y + 3 = 0 ও x + y – 3 = 0 এবং তার তৃতীয় বাহুটি (1, -10) বিন্দুগামী। তৃতীয় বাহুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB ও AC বাহু দুটি সমান।
AB ও AC বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে 7x – y + 3 = 0 ও x + y – 3 = 0
এখানে AB ও AC বাহুর প্রবনতা যথাক্রমে 7 ও -1
আরও ধরি তৃতীয় বাহুটির প্রবনতা m
∵ AB = AC
∴ ∠ABC = ∠ACB
⇒ tan∠ABC = tan∠ACB

\(⇒ \left| \frac{m – 7}{1 + 7m} \right| = \left| \frac{m + 1}{1 – m} \right| \\⇒ \frac{m – 7}{1 + 7m} = ±\frac{m + 1}{1 – m}\) (+) চিহ্ন ধরে, \(\\\quad \frac{m – 7}{1 + 7m} = \frac{m + 1}{1 – m}\)

⇒ m – m² – 7 + 7m = m + 1 + 7m² + 7m
⇒ – m² – 7 = 1 + 7m²
⇒ – 8m² = 8
⇒ m² = -1
বা, m = ±√-1
এটি একটি অবাস্তব সংখ্যা।
∴ m ≠ ±√-1

(-) চিহ্ন ধরে, \(\\\quad \frac{m – 7}{1 + 7m} = -\frac{m + 1}{1 – m}\)

⇒ (m – 7)(1 – m) = -(1 + 7m)(m + 1)
⇒ m – m² – 7 + 7m = -m – 1 – 7m² – 7m
⇒ 6m² + 16m – 6 = 0
⇒ 3m² + 8m – 3 = 0
⇒ 3m² + 9m – m – 3 = 0
⇒ 3m(m + 3) – 1(m + 3) = 0
⇒ (m + 3)(3m – 1) = 0
∴ m = -3, ¹/₃
(1, -10) বিন্দুগামী ও -3 প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
y + 10 = -3(x – 1)
বা, 3x + y + 7 = 0
আবার, (1, -10) বিন্দুগামী ও ¹/₃ প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
y + 10 = ¹/₃(x – 1)
বা, x – 3y = 31
Ans: তৃতীয় বাহুটির সমীকরণ:
3x + y + 7 = 0 অথবা x – 3y = 31

বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি
প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

1. (7, 9) ও (-1, -7) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশ যে বিন্দুতে 3 : 5 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয় সেই বিন্দুগামী এবং ওই রেখাংশের ওপর লম্বভাবে অবস্থিত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো। মূলবিন্দু থেকে নির্ণেয় সরলরেখার দূরত্ব কত?

Solution: (7, 9) ও (-1, -7) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশ যে বিন্দুতে 3 : 5 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয় সেই বিন্দুর স্থানাঙ্ক
= (^7.5+(-1).3/₅₊₃, ^9.5+(-7).3/₅₊₃)
= (^35-3/₈, ^45-21/₈) = (4, 3)
(7, 9) ও (-1, -7) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবনতা
= ^-7-9/_-1-7 = 2
∴ নির্নেয় লম্ব সরলরেখার প্রবনতা = –¹/₂
নির্নেয় সরলরেখাটি (4, 3) বিন্দুগামী
∴ লম্ব সরলরেখাটির সমীকরণ:
y – 3 = –¹/₂(x – 4)
বা, 2y – 6 = -x + 4
বা, x + 2y – 10 = 0
মূলবিন্দু থেকে x + 2y – 10 = 0 সরলরেখার দূরত্ব

\(= \frac{|0 + 2.0 – 10|}{\sqrt{1^2 + 2^2}}\\= \frac{10}{\sqrt{5}}= 2√5\) একক

Ans: নির্নেয় লম্ব সরলরেখার সমীকরণ x + 2y – 10 = 0;
মূলবিন্দু থেকে নির্ণেয় সরলরেখার দূরত্ব 2√5 একক

2. P, Q, R বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (-7, 5), (3, 8), (-5, 13) হলে এবং RN রেখা PQ-এর ওপর লম্ব এবং RT রেখা PQ-এর সমান্তরাল হলে RN এবং RT-এর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: P, Q, R বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (-7, 5), (3, 8), (-5, 13)
∴ PQ সরলরেখার সমীকরণ:
^{y – 8}/_{8 – 5} = ^{x – 3}/_{3 + 7}
বা, ^{y – 8}/₃ = ^{x – 3}/₁₀
বা, 3x – 10y + 71 = 0
PQ-এর ওপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণঃ
10x + 3y + k = 0
সরলরেখাটি R(-5, 13) বিন্দুগামী,
∴ 10×(-5) + 3×13 + k = 0
বা, k = 11
∴ RN সরলরেখার সমীকরণ:
10x + 3y + 11 = 0
আবার PQ-এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণঃ 3x – 10y + p = 0
সরলরেখাটি R(-5, 13) বিন্দুগামী,
∴ 3×(-5) – 10×13 + p = 0
বা, -15 – 130 + p = 0
বা, p = 145
∴ RT সরলরেখার সমীকরণ 3x – 10y + 145 = 0
Ans: RN সরলরেখার সমীকরণ 10x + 3y + 11 = 0;
RT সরলরেখার সমীকরণ 3x – 10y + 145 = 0

3. A(4, 6) , B(- 1, 3) এবং C(2, – 2) তিনটি প্রদত্ত বিন্দু। নিম্নলিখিতগুলি নির্ণয় করো:
(i) A থেকে BC-র ওপর লম্বের সমীকরণ।
(iI) A, B, C থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং ওই বিন্দু থেকে A, B, C-এর দূরত্ব।

(i) Solution: . A, B এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, 6), (- 1, 3) এবং (2, – 2)
∴ BC সরলরেখার সমীকরণ:

\(\quad \frac{y + 2}{-2 – 3}= \frac{x – 2}{2 + 1}\\⇒ \frac{y + 2}{-5} = \frac{x – 2}{3}\\⇒ 5x + 3y – 4 = 0\)

BC-এর ওপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণঃ
3x – 5y + k = 0
সরলরেখাটি (4, 6) বিন্দুগামী,
∴ 3×4 – 5×6 + k = 0
বা, k = 18
∴ A থেকে BC-র ওপর লম্বের সমীকরণঃ
3x – 5y + 18 = 0
Ans: A থেকে BC-র ওপর লম্বের সমীকরণ 3x – 5y + 18 = 0

(ii) Solution: ধরি, A, B, C থেকে সমদূরবর্তী বিন্দু P-এর স্থানাঙ্ক (h, k)
∴ AP = BP = CP
AP = BP
বা, (AP)² = (BP)²
বা, (h – 4)² + (k – 6)² = (h + 1)² + (k – 3)²
বা, h² – 8h + 16 + k² – 12k + 36 = h² + 2h + 1 + k² – 6k + 9
বা, – 10h – 6k + 42 = 0
বা, 5h + 3k – 21 = 0 . . . (i)

আবার, BP = CP
বা, (BP)² = (CP)²
বা, (h + 1)² + (k – 3)² = (h – 2)² + (k + 2)²
বা, h² + 2h + 1 + k² – 6k + 9 = h² – 4h + 4 + k² + 4k + 4
বা, 6h – 10k + 2 = 0
বা, 3h – 5k + 1 = 0 . . . (ii)
(i) ও (ii)-এর ছেদবিন্দু:

\(\quad \frac{h}{3-105} = \frac{k}{-63-5}= \frac{1}{-25-9}\\⇒\frac{h}{-102} = \frac{k}{-68}= \frac{1}{-34}\\⇒\frac{h}{3} = \frac{k}{2}= 1\)

∴ h = 3, k = 2
ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 2)

(3, 2) বিন্দু থেকে A, B, C-এর দূরত্ব

\(=\sqrt{(3+1)^2+(2-3)^2}= \sqrt{17}\)একক

Ans: A, B, C থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 2) এবং ওই বিন্দু থেকে A, B, C-এর দূরত্ব √17 একক।

4. (2, 1) বিন্দুগামী ও 2x + 4y = 7 সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো। x -অক্ষ, y-অক্ষ, প্রদত্ত ও নির্ণেয় সরলরেখার দ্বারা উৎপন্ন ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
Solution:

2x + 4y = 7 সরলরেখার সমান্তরাল যেকোনো সরলরেখার সমীকরণ 2x + 4y = k
সরলরেখাটি (2, 1) বিন্দুগামী।
∴ 2×2 + 4×1 = k
বা, k = 8
নির্নেয় সরলরেখার সমীকরণ:
2x + 4y = 8
⇒ x + 2y = 4
2x + 4y = 7 সরলরেখার ছেদিতাংশ আকার হলো:

\(⇒ \frac{x}{\frac{7}{2}} + \frac{y}{\frac{7}{4}} = 1 . . .(i)\)

(i) নং সরলরেখা x ও y অক্ষকে যথাক্রমে A(⁷/₂, 0) ও B(0, ⁷/₄) বিন্দুতে ছেদ করে।
∴ AOB ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= ¹/₂×⁷/₂×⁷/₄
= ⁴⁹/₁₆ বর্গএকক
x + 2y = 4 সরলরেখার ছেদিতাংশ আকার হলো:

\(⇒ \frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1 . . . (ii)\)

(ii) নং সরলরেখা x ও y অক্ষকে যথাক্রমে C(4, 0) ও D(0, 2) বিন্দুতে ছেদ করে।
∴ COD ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= ¹/₂×4×2 = 4 বর্গএকক
সমান্তরাল সরলরেখার দ্বারা উৎপন্ন ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
= △AOB -এর ক্ষেত্রফল – △COD -এর ক্ষেত্রফল
= 4 – ⁴⁹/₁₆ = ^64-49/₁₆ = ¹⁵/₁₆ বর্গএকক
Ans: সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
x + 2y = 4
সরলরেখার দ্বারা উৎপন্ন ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ¹⁵/₁₆ বর্গএকক

5. (2, 7), (-6, 1) এবং (4, -5) বিন্দু তিনটির সংযোগে উৎপন্ন ত্রিভুজের লম্ববিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution:

ধরি,ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু A, B এবং C-এর স্থানাঙ্ক (2, 7), (-6, 1) এবং (4, -5)
আরও ধরি, A বিন্দু থেকে BC বাহুর ওপর AD লম্ব এবং B বিন্দু থেকে CA বাহুর ওপর BE লম্ব যা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
সুতরাং ত্রিভুজটির লম্ববিন্দু হবে O(h, k)।
AC-এর প্রবণতা = ^-5-7/_4-2 = ^-12/₂ = 6
BC-এর প্রবণতা = ^-5-1/₄₊₆ = ^-6/₁₀ = ^-3/₅
BO-এর প্রবণতা =^k-1/_h+6
OD বা AD -এর প্রবণতা = ^k-7/_h-2
∴ AD ⊥ BC
অর্থাৎ ^k-7/_h-2×^-3/₅ = -1
বা, -3k + 21 = -5h + 10
বা, 5h – 3k + 11 = 0 . . . (i)
এবং BO ⊥ AC
অর্থাৎ ^k-1/_h+6×6 = -1
বা, 6k – 6 = h + 6
বা, h – 6k + 12 = 0
বা, h = 6k – 12 . . . (ii)
(i) নং সমীকরণে h = 6k – 12 বসিয়ে পাই,
5(6k – 12) – 3k + 11 = 0
বা, 27k = 49
বা, k = ⁴⁹/₂₇
∴ h = 6×⁴⁹/₂₇ – 12 = ⁹⁸/₉ – 12 = ^98-108/₉ = –¹⁰/₉
O বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-¹⁰/₉, ⁴⁹/₂₇)
Ans: লম্ববিন্দুর স্থানাঙ্ক (-¹⁰/₉, ⁴⁹/₂₇)

6. একটি ত্রিভুজের দুটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (-2, 3) ও (5, -1); যদি ত্রিভুজটির লম্ববিন্দু মূলবিন্দুতে হয়, তবে ত্রিভুজটির তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, ABC ত্রিভুজের দুটি শীর্ষবিন্দু A(- 2, 3), B(5, – 1) ও লম্ববিন্দু O(0, 0) এবং তৃতীয় শীর্ষবিন্দু C -এর স্থানাঙ্ক (h, k)
AO -এর প্রবণতা = ^3-0/_-2-0 = –³/₂
BO -এর প্রবণতা = ⁰⁺¹/_0-5 = –¹/₅
AC -এর প্রবণতা = ^k-3/_h+2
BC -এর প্রবণতা = ^k+1/_h-5
লম্ববিন্দু মূলবিন্দু।
∴ AO ⊥ BC এবং BO ⊥ AC
অর্থাৎ –³/₂×^k+1/_h-5 = -1
বা, -3k – 3 = -2h + 10
বা, 2h – 3k – 13 = 0 . . . (i)
এবং –¹/₅×^k-3/_h+2 = -1
বা, -k + 3 = -5h – 10
বা, 5h – k + 13 = 0
বা, k = 5h + 13 . . . (ii)
(i) নং সমীকরণে k = 5h + 13 বসিয়ে পাই,
2h – 3(5h + 13) – 13 = 0
বা, -13h – 52 = 0
বা, h = – 4
∴ k = 5×(-4) + 13 = -7
C -এর স্থানাঙ্ক (-4, -7)
Ans: ত্রিভুজটির তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-4, -7)

7. একটি সামান্তরিকের দুটি সংলগ্ন বাহুর সমীকরণ 4x + 5y = 0 এবং 7x + 2y = 0 যদি সামান্তরিকটির একটি কর্ণের সমীকরণ 11x + 7y = 9 হয়, তবে অন্য কর্ণটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution:

ধরি, ABCD সামান্তরিকের,
AB: 7x + 2y = 0 . . . (i)
BC: 4x + 5y = 0 . . . (ii)
(i) ও (ii) -এর ছেদবিন্দুর(B) স্থানাঙ্ক (0, 0)
স্পষ্টতই, 11x + 7y = 9 সরলরেখাটি B(0, 0) বিন্দুগামী নয়।
∴ AC কর্ণের সমীকরণঃ
11x + 7y = 9 . . . (iii)
(i) ও (iii)-এর ছেদবিন্দু:
(iii) নং-এ x = –^2y/₇ বসিয়ে পাই,
11×(-^2y/₇) + 7y = 9
বা, -22y + 49y = 63
বা, 27y = 63
বা, y = ⁷/₃
∴ x = –²/₇×⁷/₃ = –²/₃
(i) ও (iii) -এর ছেদবিন্দুর(A) স্থানাঙ্ক (-²/₃, ⁷/₃)
(ii) ও (iii)-এর ছেদবিন্দু:
(iii) নং-এ x = –^5y/₄ বসিয়ে পাই,
11×(-^5y/₄) + 7y = 9
বা, -55y + 28y = 36
বা, -27y = 36
বা, y = –⁴/₃
∴ x = –⁵/₄×-⁴/₃ = ⁵/₃
(ii) ও (iii) -এর ছেদবিন্দু(C) স্থানাঙ্ক = (⁵/₃, –⁴/₃)

∴ AC-এর মধ্যবিন্দু \(\left( \frac{-\frac{2}{3}+\frac{5}{3}}{2}, \frac{\frac{7}{3}-\frac{4}{3}}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)\)

অপর কর্ণ(BD), AC-এর মধ্যবিন্দুগামী।
∴ (0, 0) ও (¹/₂, ¹/₂) বিন্দুগামী সরলরেখা(BD)-এর সমীকরণ:

\(\quad \frac{y-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-0}=\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-0}\\⇒\frac{\frac{2y-1}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{2x-1}{2}}{\frac{1}{2}}\)

⇒ 2y – 1 = 2x – 1
⇒ y = x
⇒ x – y = 0
Ans: অন্য কর্ণটির সমীকরণ x – y = 0

8. 3x + 2y – 6 = 0 -এর সমান্তরাল একটি সরলরেখা x – 2y = 0 এবং y – 2x = 0 সরলরেখা দুটির সঙ্গে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল 21 হলে, ওই সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
3x + 2y – 6 = 0 এর সাথে সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণঃ
3x + 2y + k = 0 . . . (i)
অন্য সরলরেখা দুটি হল:
x – 2y = 0 . . . (ii)
y – 2x = 0 . . . (iii)
(i) ও (ii)-এর ছেদবিন্দু:
(i) নং-এ x = 2y বসিয়ে পাই,
3.2y + 2y + k = 0
বা,y = –^k/₈
∴ x = –^k/₄
(i) ও (ii)-এর ছেদবিন্দু (-^k/₄, –^k/₈)
(i) ও (iii)-এর ছেদবিন্দু:
(i) নং-এ y = 2x বসিয়ে পাই,
3x + 2.2x + k = 0
বা, x = –^k/₇
∴ y = –^2k/₇
(i) ও (iii)-এর ছেদবিন্দু (-^k/₇, –^2k/₇)
(ii) ও (iii)-এর ছেদবিন্দু:
(ii) নং-এ y = 2x বসিয়ে পাই,
x – 2.2x = 0
বা, x = 0
∴ y = 0
(ii) ও (iii)-এর ছেদবিন্দু (0, 0)
∴ (0, 0), (-^k/₄, –^k/₈) এবং (-^k/₇, –^2k/₇) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= ¹/₂[0 + (-^k/₄)(-^2k/₇ – 0) + (-^k/₇)(0 –(-^k/₈))]
= ¹/₂[ ^2k²/₂₈ – ^k²/₅₆]
= ¹/₂×^3k²/₅₆
প্রশ্নানুযায়ী,
¹/₂×^3k²/₅₆ = 21
বা, 3k² = 21×2×56
বা, k² = 7×2×56
বা, k² = 7×2×2×4×7
বা, k = ± 28
Ans: সরলরেখার সমীকরণঃ
3x + 2y ± 28 = 0

9. 3x + 4y – 24 = 0 সরলরেখাটি y-অক্ষকে A বিন্দুতে এবং x-অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করে; (0, -1) বিন্দুগামী ও x-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখাকে, AB রেখাংশের লম্বসমদ্বিখন্ডক C বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করো যে, ∠ACB = 1 সমকোণ।
Solution:

\(\quad 3x + 4y – 24 = 0\\⇒\frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 1\)

সরলরেখাটি y-অক্ষকে A(0, 6) বিন্দুতে এবং x-অক্ষকে B(8, 0) বিন্দুতে ছেদ করে।
AB রেখাংশের মধ্যবিন্দু (⁸⁺⁰/₂, ⁰⁺⁶/₂) বা, (4, 3)
AB রেখাংশের লম্বসমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ 4x – 3y + k = 0
এটি (4, 3) বিন্দুগামী।
∴ 4.4 – 3.3 + k = 0
বা, k = -7
∴ AB রেখাংশের লম্বসমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ 4x – 3y – 7 = 0 . . . (i)
(0, – 1) বিন্দুগামী ও x-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
y = -1 . . . (ii)
(i) ও (ii)-এর ছেদবিন্দু(C):
(ii) নং-এ y = -1 বসিয়ে পাই,
4x – 3.(-1) – 7 = 0
বা, 4x = 4
বা, x = 1
∴ C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, – 1)
AC -এর প্রবণতা = ⁶⁺¹/_0-1 = -7এবং
BC -এর প্রবণতা = ⁰⁺¹/_8-1 = ¹/₇
∴ AC -এর প্রবণতা×BC -এর প্রবণতা = -7×¹/₇ = -1
∴ ∠ACB = 90° (প্রমাণিত)

10. দেখাও যে, x -অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে θ কোণে নত সরলরেখার সমান্তরাল দিকে পরিমিত (x0, y0) বিন্দু থেকে ax + by + c = 0 সরলরেখার দূরত্ব হয়, \(-\frac{ax_0 + by_0 + c}{acos θ + bsin θ}\)

Solution: (x₀, y₀) বিন্দুগামী এবং x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে θ কোণে নত যে কোনো সরলরেখার সমীকরণঃ

\(\quad y – y_0 = tan θ(x – x_0) . . . (i)\\⇒\frac{x-x_0}{cos θ}=\frac{y-y_0}{sin θ}= r (let)\\∴ x= x_0 + rcos θ ;\quad y= y_0 + rsin θ\)

∴ ( x₀ + rcos θ , y₀ + rsin θ) বিন্দুটি (i) নং সরলরেখার ওপর অবস্থিত।
আরও ধরি, (i) নং সরলরেখা এবং ax + by + c = 0 এর ছেদবিন্দু (x₀ + rcos θ , y₀ + rsin θ)
∴ a(x₀ + rcos θ) + b(y₀ + rsin θ) + c = 0
বা, arcos θ + brsin θ = – ax₀ – by₀– c
বা, r(acos θ + bsin θ) = – (ax₀ + by₀+ c)
বা, r = –^{ax₀ + by₀ + c}/_{acos θ + bsin θ}
(x₀, y₀) এবং (x₀ + rcos θ , y₀ + rsin θ) এর মধ্যে দূরত্ব

\( =\sqrt{(x_0+ rcos θ-x_0)^2+(y_0+ rsin θ-y_0)^2}\\=\sqrt{r^2cos^2θ+ r^2sin^2θ}\\=\sqrt{r^2(cos^2θ+ r^2sin^2θ)}\\=\sqrt{r^2}=r\\=-\frac{ax_0 + by_0 + c}{acos θ + bsin}\) Ans: নির্নেয় দূরত্ব = \(-\frac{ax_0 + by_0 + c}{acos θ + bsin}\)

11. দেখাও যে, (a + b)x + (a – b)y – 2ab = 0, (a – b)x + (a + b)y – 2ab = 0 এবং x + y = 0 রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু এবং তার শীর্ষকোণ 2tan^-1|^a/_b|

Solution: সরলরেখা তিনটির সমীকরণ:
(a + b)x + (a – b)y – 2ab = 0 . . . (i)
(a – b)x + (a + b)y – 2ab = 0 . . . (ii) এবং
x + y = 0 . . . (iii)
তিনটি সরলরেখার প্রবনতা যথাক্রমে m₁= –^{(a + b)}/_{(a – b)}, m₂= –^{(a – b)}/_{(a + b)} এবং m₃= -1
(ii) ও (iii) নং সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী কোণ θ₁ হলে,

\(\quad tanθ_1 = \left| \frac{\frac{-(a – b)}{a+b}+1}{1+\frac{(a – b)}{a+b}} \right|\\⇒tanθ_1 = \left| \frac{\frac{-a + b+a+b}{a+b}}{\frac{a + b + a – b}{a+b}} \right|\\⇒tanθ_1 = \left| \frac{2b}{2a} \right|\\⇒tanθ_1 = \left| \frac{b}{a} \right|\\⇒θ_1 = tan^{-1}\left| \frac{b}{a} \right|\)

(i) ও (iii) নং সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী কোণ θ₂ হলে,

\(\quad tanθ_2 = \left| \frac{\frac{-(a+ b)}{a-b}+1}{1+\frac{(a + b)}{a-b}} \right|\\⇒tanθ_2 = \left| \frac{\frac{-a – b+a-b}{a-b}}{\frac{a – b + a + b}{a-b}} \right|\\⇒tanθ_2 = \left| \frac{-2b}{2a} \right|\\⇒tanθ_2 = \left| -\frac{b}{a} \right|\\⇒tanθ_2 = \left|\frac{b}{a} \right|\\⇒θ_2 = tan^{-1}\left| \frac{b}{a} \right|\)

∴ θ₁ = θ₂= tan^-1|^b/_a|
∴ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান কোন দুটি হল tan^-1|^b/_a|
∴ ত্রিভুজের তৃতীয় কোণটি হল
= π – 2tan^-1|^b/_a|
= 2(^π/₂ – tan^-1|^b/_a|)
= 2cot^-1|^b/_a|
= 2tan^-1|^a/_b|
∴ ত্রিভুজটির শীর্ষকোণ 2tan^-1|^a/_b| (Proved)

12. (3, 2) বিন্দুগামী এবং x = 2y + 4 সরলরেখার সঙ্গে 45° কোণে নত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: (3, 2) বিন্দুগামী এবং m প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
y – 2 = m(x – 3) . . . (i)
x = 2y + 4 সরলরেখার প্রবনতা ¹/₂

\(∴ tan45° = \left| \frac{m-\frac{1}{2}}{1+m.\frac{1}{2}} \right|\\⇒1 =\left| \frac{2m-1}{2+m} \right|\\⇒\frac{2m-1}{2+m}=±1\\⇒(2m-1)=±(2+m)\)

(+) চিহ্ন ধরে পাই,
2m – 1 = (2 + m)
বা, m = 3
∴ সরলরেখার সমীকরণ:
y – 2 = 3(x – 3)
বা, 3x – y = 7
(-) চিহ্ন ধরে পাই,
2m – 1 = -(2 + m)
বা, 3m = -1
বা, m = – ¹/₃
∴ সরলরেখার সমীকরণ:
y – 2 = –¹/₃(x – 3)
বা, 3y – 6 = – x + 3
বা, x + 3y = 9
Ans: সরলরেখার সমীকরণ:
3x – y = 7 এবং x + 3y = 9

13. মূলবিন্দুগামী এবং x + y + √3(y – x) = a সরলরেখার সঙ্গে 75° কোণ উৎপন্ন করে এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি নির্নেয় সরলরেখার প্রবনতা m
∴ m প্রবনতাবিশিষ্ট এবং মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ:
y = mx . . . (i)
প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ:
x + y + √3(y – x) = a
বা, (√3 + 1)y – (√3 – 1)x = a . . . (ii)
(ii) নং সরলরেখার প্রবনতা
= ^{√3 – 1}/_{√3 + 1}
= ^{(√3 – 1)²}/_{(√3 + 1)(√3-1)}
= ^3+1-2√3/_{3 – 2}
= 2 – √3 = tan 15°
প্রদত্ত সরলরেখা x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে 15° কোণ উৎপন্ন করে।
আবার (i) নং সরলরেখা (ii) নং সরলরেখার সঙ্গে 75° কোণ উৎপন্ন করে।
∴ (i) নং সরলরেখা x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে (15° ± 75°) বা 90° বা -60°কোণ উৎপন্ন করে।
প্রবনতা m = tan90° = ∞ হলে,
(i) নং সরলরেখার সমীকরণ হয়
y = ∞x
বা, x = 0
আবার প্রবনতা m = tan(-60°) = -tan60° = -√3 হলে,
(i) নং সরলরেখার সমীকরণ হয়
y = -√3x
বা, √3x + y = 0
Ans: নির্নেয় সমীকরণঃ
x = 0 এবং √3x + y = 0

14. (-2, 5) বিন্দুগামী দুটি সরলরেখার মধ্যে একটি x – y + 5 = 0 সরলরেখার সঙ্গে tan^-13/₄এবং প্রদত্ত রেখাটি অন্যটির সঙ্গে tan^-12/₃কোণ উৎপন্ন করে। সরলরেখা দুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: (-2, 5) বিন্দুগামী এবং m প্রবণতা বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণঃ
y – 5 = m(x + 2)
x – y + 5 = 0 সরলরেখার প্রবণতা 1

\(∴ tan^{-1}\frac{3}{4} = tan^{-1}\frac{\left| 1 – m \right|}{1 + m}\\⇒\frac{3}{4} = \frac{\left| 1 – m \right|}{1 + m}\\⇒3(1+m)=±4(1-m)\)

(+) চিহ্ন ধরে পাই,
3 + 3m = 4 -4m
বা, m = ¹/₇
∴ সরলরেখার সমীকরণঃ
y – 5 = ¹/₇(x + 2)
বা, x – 7y + 37 = 0
(-) চিহ্ন ধরে পাই,
3 + 3m = -(4 – 4m)
বা, 3 + 3m = -4 + 4m
বা, m = 7
∴ সরলরেখার সমীকরণঃ
y – 5 = 7(x + 2)
বা, 7x – y + 19 = 0
আবার (-2, 5) বিন্দুগামী এবং n প্রবণতা বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণঃ
y – 5 = n(x + 2)
x – y + 5 = 0 সরলরেখার প্রবণতা 1

\(∴ tan^{-1}\frac{2}{3} = tan^{-1}\frac{\left| 1 – n \right|}{1 + n}\\⇒\frac{2}{3} = \frac{\left| 1 – n \right|}{1 + n}\\⇒2(1+n)=±3(1-n)\)

(+) চিহ্ন ধরে পাই,
2(1 + n) = 3(1 – n)
বা, 2 + 2n = 3 – 3n
বা, n = ¹/₅
∴ সরলরেখার সমীকরণঃ
y – 5 = ¹/₅(x + 2)
বা, x – 5y + 27 = 0
(-) চিহ্ন ধরে পাই,
2(1 + n) = -3(1 – n)
বা, 2 + 2n = -3 + 3n
বা, n = 5
∴ সরলরেখার সমীকরণঃ
y – 5 = 5(x + 2)
বা, 5x – y + 15 = 0
Ans: সরলরেখা দুটির সমীকরণ:
7x – y + 19 = 0 অথবা x – 7y + 37 = 0 এবং
x – 5y + 27 = 0 অথবা 5x – y + 15 = 0

15. একটি আয়তক্ষেত্রের একটি বাহুর সমীকরণ 4x + 7y + 5 = 0 এবং দুটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-3, 1) ও (1, 1); এর অন্য তিন বাহুর সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution:

ধরি,ABCD আয়তক্ষেত্রের,
AB বাহুর সমীকরণ: 4x + 7y + 5 = 0
AB বাহুর প্রবনতা –⁴/₇
4x + 7y + 5 = 0 সমীকরণটি (-3, 1) দ্বারা সিদ্ধ হয়।
∴ AB বাহুটি (-3, 1) বিন্দুগামী।
∴ B শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-3, 1)
BC বাহুটি AB-এর উপর লম্ব এবং (-3, 1) বিন্দুগামী।
BC বাহুর প্রবনতা m হলে,
m×-⁴/₇ = – 1
বা, m = ⁷/₄
∴ BC বাহুর সমীকরণ:
y – 1 = ⁷/₄(x + 3)
বা, 7x – 4y + 25 = 0
CD বাহু AB বাহুর সমান্তরাল।
∴ CD বাহুর প্রবনতা –⁴/₇ এবং এটি (1, 1) বিন্দুগামী।
∴ CD বাহুর সমীকরণ:
y – 1 = –⁴/₇(x – 1)
বা, 4x + 7y – 11 = 0
DA বাহু BC বাহুর সমান্তরাল।
∴ DA বাহুর প্রবনতা ⁷/₄ এবং এটি (1, 1) বিন্দুগামী।
∴ CD বাহুর সমীকরণ:
y – 1 = ⁷/₄(x – 1)
বা, 7x – 4y – 3 = 0
Ans: অন্য তিন বাহুর সমীকরণ হলো:
7x – 4y + 25 = 0;
4x + 7y – 11 = 0 এবং
7x – 4y – 3 = 0

16. 3x – 2y – 1 = 0 সরলরেখার সঙ্গে 45° কোণে নত দিকে (5, 3) বিন্দু থেকে প্রদত্ত সরলরেখার দূরত্ব নির্ণয় করো।

Solution: প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণঃ
3x – 2y – 1 = 0 . . . (i)
ধরি, (i) নং সরলরেখার সঙ্গে 45° কোণে নত দিকে প্রদত্ত বিন্দু A(5, 3) থেকে (i) নং সরলরেখার দূরত্ব AB
এখন, A(5, 3) থেকে প্রদত্ত সরলরেখার লম্ব দূরত্ব (AC)

\(=\frac{\left| 3.5 – 2.3 – 1 \right|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{8}{\sqrt{13}}\)

আবার ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে ∠B = 45°
∴ sin45° = ^AC/_AB
বা, AB×¹/_√2 = ⁸/_√13
বা, AB = ^8√2/_√13 = ^8√26/_√13
Solution: নির্ণেয় দূরত্ব ^8√26/_√13 একক

17. একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 3) এবং তার বিপরীত বাহুর সমীকরণ x + y = 2 ত্রিভুজটির অন্য বাহু দুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, (2, 3) বিন্দুগামী বাহুর প্রবনতা m
∴ (2, 3) বিন্দুগামী বাহুর সমীকরণ y – 3 = m(x – 2)
x + y = 2 বাহুর প্রবনতা -1
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ 60°
∴ tan60° = ^|m+1|/_1-m
বা, √3 = ^|m+1|/_1-m
বা, √3(1 – m) = |m +1|
বা, √3(1 – m ) = ±(m +1)
(+) চিহ্ন ধরে,
√3(1 – m) = (m +1)
বা, m(√3 + 1) = (√3 – 1)
বা, m = ^{√3 – 1}/_{√3 + 1}
বা, m = ^{(√3 – 1)²}/_{(√3 + 1)(√3 – 1)}
বা, m = ^{4 – 2√3}/_{3 – 1}
বা, m = 2 – √3
(-) চিহ্ন ধরে,
√3(1 – m) = -(m +1)
বা, m(√3 – 1) = (√3 + 1)
বা, m = ^{√3 + 1}/_{√3 – 1}
বা, m = ^{(√3 + 1)²}/_{(√3 – 1)(√3 + 1)}
বা, m = ^{4 + 2√3}/_{3 – 1}
বা, m = 2 + √3
ত্রিভুজটির অন্য বাহু দুটির সমীকরণ:
y – 3 = (2 – √3)(x – 2)
বা, y – 3 = (2 – √3)x – 4 + 2√3
বা, (2 – √3)x – y = -3 + 4 – 2√3
বা, (2 – √3)x – y = 1 – 2√3
এবং
y – 3 = (2 + √3)(x – 2)
বা, y – 3 = (2 + √3)x – 4 – 2√3
বা, (2 + √3)x – y = -3 + 4 + 2√3
বা, (2 + √3)x – y = 1 + 2√3
Ans: ত্রিভুজটির অন্য বাহু দুটির সমীকরণ:
(2 – √3)x – y = 1 – 2√3 এবং
(2 + √3)x – y = 1 + 2√3

18. একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের সমীকরণ x + y + 1 = 0 এবং তার বিপরীত শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 3); ত্রিভুজটির অন্য দুই বাহুর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের সমীকরণ x + y + 1 = 0 এবং তার বিপরীত শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 3);
∴ (2, 3) বিন্দুগামী সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব।
ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∴ সরলরেখা দুটি অতিভুজের সঙ্গে 45° কোণ উৎপন্ন করে।
x + y + 1 = 0 সরলরেখার প্রবনতা -1
ধরি, (2, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার প্রবনতা m
∴ tan45° = ^|m+1|/_1-m
বা, 1 = ^|m+1|/_1-m
বা, 1 – m = |m +1|
বা, 1 – m = ±(m +1)
(+) চিহ্ন ধরে,
1 – m = (m +1)
বা, -2m = 0
বা, m = 0
(-) চিহ্ন ধরে,
1 – m = -(m +1)
বা, m = ∞
m = 0 হলে,
(2, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ হয়
y – 3 = 0(x – 2)
বা, y = 3
m = ∞ হলে,
(2, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ
y – 3 = ∞(x – 2)
বা, x = 2
Ans: ত্রিভুজটির অন্য দুই বাহুর সমীকরণ:
y = 3 এবং x = 2

19. কোনো আয়তক্ষেত্রের একটি কর্ণের প্রান্ত দুটির স্থানাঙ্ক (6, 1) ও (12, 9) এবং অন্য কর্ণটি x-অক্ষের সমান্তরাল। অন্য কর্ণের প্রান্তবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution:

ধরি, ABCD আয়তক্ষেত্রের AC কর্ণের প্রান্ত দুটির স্থানাঙ্ক (6, 1) ও (12, 9)
∴ AC-এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (⁶⁺¹²/₂, ¹⁺⁹/₂) = (9, 5)
আবার অন্য কর্ণ BD x-অক্ষের সমান্তরাল।
BD কর্ণটি (9, 5) বিন্দুগামী।
অতএব BD কর্ণটির সমীকরণ হবে y = 5
ধরি, BD কর্ণের প্রান্তবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক (h, 5) এবং (k, 5)
∴ ^h+k/₂ = 9
বা, h = 18 – k
ABCD আয়তক্ষেত্রের,
BD = AC

\(∴\sqrt{(h-k)^2}=\sqrt{(12-6)^2+(9-1)^2}\\⇒\sqrt{(18 – k-k)^2} = \sqrt{36+64}\)

⇒ (18 – 2k)² = 100
⇒ 4(9 – k)² = 100
⇒ (k – 9)² = 25
⇒ (k – 9) = 5
⇒ k = 9 + 5 = 14
∴ h = 18 – 14 = 4
Ans: অন্য কর্ণের প্রান্তবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক (14, 5), (4, 5)

20. দেখাও যে, y = 0, y = 2, y – √3x = 0, y + √3x = 6√3 সরলরেখা চারটি একটি বৃত্তস্থ ট্র্যাপিজিয়াম গঠন করে। ট্র্যাপিজিয়ামটির শীর্ষগুলির স্থানাঙ্ক এবং তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করে।

Solution: ধরি, ABCD চতুর্ভুজের,
AB বাহুর সমীকরণ y = 0 . . . (i)
BC বাহুর সমীকরণ y + √3x = 8√3 . . . (ii)
CD বাহুর সমীকরণ y = 2 . . . (iii) ও
DA বাহুর সমীকরণ y – √3x = 0 . . . (iv)
এখানে AB এবং CD বাহু সমান্তরাল।
∴ ABCD একটি ট্র্যাপিজিয়াম।
অতএব সরলরেখা চারটি একটি ট্র্যাপিজিয়াম গঠন করে।
(i) ও (ii) সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:
(ii) নং-এ y = 0 বসিয়ে পাই,
0 + √3x = 8√3
বা, x = 8
∴ B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (8, 0)
(ii) ও (iii) সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:
(ii) নং-এ y = 2 বসিয়ে পাই,
2 + √3x = 8√3
বা, x = 8 – ²/_√3
∴ C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (8 – ²/_√3, 2)
(iii) ও (iv) সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:
(iv) নং-এ y = 2 বসিয়ে পাই,
2 – √3x = 0
বা, x = ²/_√3
∴ D বিন্দুর স্থানাঙ্ক ( ²/_√3, 2)
(iv) ও (i) থেকে সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:
(iv) নং-এ y = 0 বসিয়ে পাই,
0 – √3x = 0
বা, x = 0
∴ A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 0)
DA বাহুর প্রবনতা
= ^(0-2)/_{(0-²/_√3)} = ^-2/_{–²/_√3} = √3
∴ tanθ₁ = √3 = tan60°
বা, θ₁ = 60°
আবার BC বাহুর প্রবনতা
= ^(2-0)/_{(8-²/_√3-8)} = ²/_{–²/_√3} = -√3
∴ tanθ₂ = -√3 = tan120°
বা, θ₂ = 120°
∵ ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি
= 60° + 120° = 180°
∴ ABCD চতুর্ভুজটি একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ ABCD চতুর্ভুজটি একটি বৃত্তস্থ ট্র্যাপিজিয়াম। (Proved)
ট্র্যাপিজিয়ামটির শীর্ষগুলির স্থানাঙ্ক হল (0, 0), (8, 0), ( 8 – ²/_√3, 2) এবং ( ²/_√3, 2) (Ans)
ABCD বৃত্তস্থ ট্র্যাপিজিয়ামের,
AB = 8 একক এবং
CD = (8 – ²/_√3 – ²/_√3) = (8 – ⁴/_√3) একক
∴ ABCD বৃত্তস্থ ট্র্যাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল
= ¹/₂(8 – ⁴/_√3 + 8)×2
=(16 – ⁴/_√3)
= 4(4 – ¹/_√3)
= ⁴/₃(12 – √3) বর্গএকক (Ans)

21. প্রমাণ করো যে, \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b}=1,\frac{x}{b} + \frac{y}{a}=1,\frac{x}{a} + \frac{y}{b}=2\) এবং \(\frac{x}{b} + \frac{y}{a}=2\)সরলরেখা চারটি দ্বারা উৎপন্ন সামান্তরিকের কর্ণ দুটি পরস্পর সমকোণে ছেদ করে।

Solution: ধরি, AB, BC, CD ও DA বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে

\(\quad \frac{x}{a} + \frac{y}{b}=1,\\\quad \frac{x}{b} + \frac{y}{a}=1,\\\quad \frac{x}{a} + \frac{y}{b}=2,\\ \quad\frac{x}{b} + \frac{y}{a}=2\)

স্পষ্টত AB ও CD এবং BC ও DA পরস্পর সমান্তরাল সরলরেখা।
∴ ABCD একটি সামান্তরিক।
∴ AB ও CD-এর মধ্যে লম্ব দূরত্ব

\(\quad = \frac{\left| 2-1 \right|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}}\)

BC ও DA-এর মধ্যে লম্ব দূরত্ব

\(\quad = \frac{\left| 2-1 \right|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}}\)

∴ ABCD সামান্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব সমান।
∴ ABCD সামান্তরিক একটি রম্বস।
আবার রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করে।
∴ প্রদত্ত সামান্তরিকের কর্ণ দুটি পরস্পর সমকোণে ছেদ করে। (Proved)

22. ABCD চতুর্ভুজের AB, BC, CD ও DA বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে x + 2y = 3, x = 1, x – 3y = 4 ও 5x + y + 12 = 0; AC এবং BD কর্ণ দুটির মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় করো।
Solution:

ABCD চতুর্ভুজের,
AB বাহুর সমীকরণ: x + 2y = 3 . . . (i)
BC বাহুর সমীকরণ: x = 1 . . . (ii)
CD বাহুর সমীকরণ: x – 3y = 4 . . . (iii) ও
DA বাহুর সমীকরণ: 5x + y + 12 = 0 . . . (iv)
(i) ও (ii) সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:
(i) নং-এ x = 1 বসিয়ে পাই,
1 + 2y = 3
বা, y = 1
∴ B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 1)
(ii) ও (iii) সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:
(iii) নং-এ x = 1 বসিয়ে পাই,
1 – 3y = 4
বা, y = -1
∴ C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, -1)
(iii) ও (iv) সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:

\(\quad \frac{x}{-36+4} = \frac{y}{-20-12}= \frac{1}{1+15}\\⇒ \frac{x}{-32} = \frac{y}{-32}= \frac{1}{16}\\⇒\frac{x}{-2} = \frac{y}{-2}= 1\)

∴ x = -2, y = -2
D বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-2, -2)
(iv) ও (i) থেকে সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:

\(\quad \frac{x}{-3-24} = \frac{y}{12+15}= \frac{1}{10-1}\\⇒ \frac{x}{-27} = \frac{y}{27}= \frac{1}{9}\\⇒\frac{x}{-3} = \frac{y}{3}= 1\)

∴ x = -3, y = 3
A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-3, 3)
AC কর্ণের প্রবনতা(m₁) = ³⁺¹/_-3-1 =‌ -1 এবং
BD কর্ণের প্রবনতা (m₂) = ^-2-1/_-2-1 =‌ 1
m₁×m₂ = -1×1 = -1
∴ AC এবং BD কর্ণ দুটির মধ্যবর্তী কোণ 90° (Ans)

23. একটি সরলরেখা L, 5x – y = 1 সরলরেখার ওপর লম্ব। দুটি স্থানাঙ্ক অক্ষ এবং L সরলরেখা দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 5 বর্গএকক; L, সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, 5x – y = 1 সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ:
x + 5y = k

\(⇒\frac{x}{k} + \frac{y}{\frac{k}{5}} = 1\)

∴ লম্ব সরলরেখাটি অক্ষদ্বয় থেকে যথাক্রমে k এবং ^k/₅ একক ছেদ করে।
প্রশ্নানুযায়ী,
¹/₂. |k×^k/₅| = 5
বা, |k²| = 50
বা, k² = 50
∴ k = ±5√2
Ans: সরলরেখার সমীকরণ: x + 5y = ±5√2

24. ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহু দুটির লম্ব সমদ্বিখণ্ডক দুটির সমীকরণ যথাক্রমে, x – y + 5 = 0 এবং x + 2y = 0; A বিন্দুটি যদি (1, -2) হয়, তবে BC বাহুর সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution:

AB এবং AC বাহুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক দুটির সমীকরণ যথাক্রমে
x – y + 5 = 0 . . . (i)এবং
x + 2y = 0 . . . (ii)
ধরি, B ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k) ও (p, q)
এখানে A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, -2)
∴ AB-এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (^{h + 1}/₂, ^{k – 2}/₂)
∴ AB-এর প্রবনতা = ^{k + 2}/_{h – 1}
AB-এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের প্রবনতা 1
∴ ^{k + 2}/_{h – 1}×1 = -1
বা, k + 2 = – h + 1
বা, h + k + 1 = 0 . . . (iii)
আবার (^{h + 1}/₂, ^{k – 2}/₂) বিন্দুটি (i) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত।
∴ ^{h + 1}/₂ – ^{k – 2}/₂ + 5 = 0
বা, h + 1 – k + 2 + 10 = 0
বা, h – k + 13 = 0 . . . (iv)
(iii) + (iv) করে পাই,
h + k + 1 + h – k + 13 = 0
বা, 2h = -14
বা, h = -7
(iii) থেকে পাই,
-7 + k + 1 = 0
বা, k = 6
∴ B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-7, 6)
পুনরায় AC-এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (^{p + 1}/₂, ^{q – 2}/₂)
∴ AC-এর প্রবনতা = ^{q + 2}/_{p – 1}
AC-এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের প্রবনতা –¹/₂
∴ ^{q + 2}/_{p – 1}×(-¹/₂) = -1
বা, q + 2 = 2(p – 1)
বা, 2p – q – 4 = 0 . . . (v)
আবার (^{p + 1}/₂, ^{q – 2}/₂) বিন্দুটি (ii) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত।
∴ ^{p + 1}/₂ + 2×^{q – 2}/₂ = 0
বা, p + 1 + 2q – 4 = 0
বা, p + 2q – 3 = 0 . . . (vi)
(v)×2 + (vi) করে পাই,
2(2p – q – 4) + p + 2q – 3 = 0
বা, 4p – 2q – 8 + p + 2q – 3 = 0
বা, 5p – 11 = 0
বা, p = ¹¹/₅
(v) থেকে পাই,
2×¹¹/₅ – q – 4 = 0
বা, q = ²²/₅ – 4
বা, q = ²/₅
∴ C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (¹¹/₅, ²/₅)
BC বাহুর সমীকরণ:

\(\frac{y – \frac{2}{5}}{\frac{2}{5} – 6} = \frac{x – \frac{11}{5}}{\frac{11}{5} + 7}\\⇒\frac{5y – 2}{2 – 30} = \frac{5x – 11}{11 + 35}\\⇒\frac{5y – 2}{-28} = \frac{5x – 11}{46}\\⇒\frac{5y – 2}{-14} = \frac{5x – 11}{23}\)

বা, 115y – 46 = -70x + 154
বা, 70x + 115y = 200
বা, 14x + 23y = 40
Ans: BC বাহুর সমীকরণ: 14x + 23y = 40

25. একটি আলোকরশ্মি (4, 5) বিন্দু থেকে এসে x-অক্ষের ওপর A বিন্দুতে প্রতিফলিত হয়ে (10, 5) বিন্দুগামী হয়। A বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং প্রতিফলিত রশ্মির সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution:

ধরি, আলোকরশ্মি B(4, 5) বিন্দু থেকে এসে x-অক্ষের ওপর A(h, 0) বিন্দুতে প্রতিফলিত হয়ে C(10, 5) বিন্দুগামী হয় এবং প্রতিফলিত রশ্মি(AC) x-অক্ষের সঙ্গে θ কোণ উৎপন্ন করে।
∴ আপতিত রশ্মি(BA) x-অক্ষের সঙ্গে (π – θ) কোণ উৎপন্ন করে।
আপতিত রশ্মি BA-এর প্রবনতা
tan(π – θ) = ^{5 – 0}/_{4 – h}
বা, -tanθ = ⁵/_{4 – h}
বা, tanθ = ⁵/_h-4 . . . (i)
প্রতিফলিত রশ্মি BC-এর প্রবনতা
tanθ = ^{5 – 0}/_{10 – h} = ⁵/_{10 – h} . . . (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
⁵/_h-4 = ⁵/_{10 – h}
বা, h – 4 = 10 – h
বা, h = 7
∴ প্রতিফলিত রশ্মি BC-এর সমীকরণ:
^{y – 5}/_{5 – 0} = ^{x – 10}/_{10 – 7}
বা, ^{y – 5}/₅ = ^{x – 10}/₃
বা, 5x – 50 = 3y – 15
বা, 5x – 3y = 35
Ans: A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (7,0) এবং
প্রতিফলিত রশ্মির সমীকরণ: 5x – 3y = 35

সরলরেখা PART-3

Straight Line SEMESTER-2 সরলরেখা SEMESTER-2

দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় SEMESTER-2